B2の紙を32等分するとB7の紙32枚になる。B2とB7は2辺の長さの比が同じである。B7の紙の短い辺と長い辺の長さの比を求める。

1. 問題の内容

B2の紙を32等分するとB7の紙32枚になる。B2とB7は2辺の長さの比が同じである。B7の紙の短い辺と長い辺の長さの比を求める。

2. 解き方の手順

B2の紙を32等分してB7の紙が作られることから、B2の面積はB7の面積の32倍である。

B2の短い辺の長さを $a$、長い辺の長さを $b$、B7の短い辺の長さを $x$、長い辺の長さを $y$ とします。

問題文より、B2とB7の2辺の長さの比は同一なので、

$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ が成り立ちます。

また、B2の面積はB7の面積の32倍なので、

$ab = 32xy$

$b = \frac{a y}{x}$ を $ab = 32xy$ に代入すると

$a(\frac{a y}{x}) = 32xy$

$\frac{a^2 y}{x} = 32xy$

$a^2 y = 32 x^2 y$

$a^2 = 32 x^2$

$a = \sqrt{32 x^2} = 4\sqrt{2} x$

$b = \frac{ay}{x} = \frac{4\sqrt{2} x y}{x} = 4\sqrt{2} y$

B2の紙を32等分する方法を考えます。B2の紙を縦に4等分、横に8等分すると32枚のB7の紙ができると考えられます。このとき、

$x = \frac{a}{8}$

$y = \frac{b}{4}$

このとき、 $\frac{x}{y} = \frac{\frac{a}{8}}{\frac{b}{4}} = \frac{a}{8} \times \frac{4}{b} = \frac{a}{2b}$

また、$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ より

$\frac{x}{y} = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$b = \sqrt{2} a$ より $a = \frac{b}{\sqrt{2}}$

$\frac{x}{y} = \frac{a}{2b} = \frac{b}{2\sqrt{2} b} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$a = 4\sqrt{2} x$ を使って$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$を考えると

$\frac{4\sqrt{2}x}{4\sqrt{2}y} = \frac{x}{y}$

一方、32枚のB7を並べると4×8の長方形になることから、B2の辺の長さはB7の辺の長さの4倍と8倍になります。

したがって、B2の短い辺はB7の短い辺の8倍、B2の長い辺はB7の長い辺の4倍となるわけではないことに注意が必要です。

問題文の条件より、 B2の縦横比とB7の縦横比は等しいので、$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$ が成り立ちます。

$ab=32xy$ より $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k$ とおくと、 $x=ka$, $y=kb$。 $ab=32ka kb = 32k^2 ab$より $k^2 = \frac{1}{32}$. よって $k = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

$a = 4\sqrt{2}x$より $x = \frac{a}{4\sqrt{2}}$, $b = 4\sqrt{2}y$より $y=\frac{b}{4\sqrt{2}}$

したがって$\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$より $\frac{x}{y}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$1 : \sqrt{2}$