(1) 点Oは三角形ABCの外心であるとき、角xと角yの値を求めよ。 (2) 点Iは三角形ABCの内心であるとき、角xと角yの値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点Oは三角形ABCの外心であるとき、角xと角yの値を求めよ。

(2) 点Iは三角形ABCの内心であるとき、角xと角yの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCの外心Oについて考えます。外心は各頂点からの距離が等しい点です。

三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形であるため、角OBC=角OCB=23°+34°=57°です。

したがって、角x=180°-2*57°=180°-114°=66°です。

三角形OABと三角形OACも同様に二等辺三角形です。したがって角OBA=角OAB=23°、角OCA=角OAC=34°です。

ゆえに、角y=角OAB+角OAC=23°+34°=57°です。

(2)

三角形ABCの内心Iについて考えます。内心は各内角の二等分線の交点です。

したがって、角IBC=26°。角ICBをxと置きます。

角BAC=80°なので、角IAB=角IAC=80°/2=40°です。

三角形の内角の和は180°なので、

$80^\circ + 26^\circ \times 2 + x \times 2 = 180^\circ$

$80^\circ + 52^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$

$x = 24^\circ$

三角形IBCにおいて、

$26^\circ + x + y = 180^\circ$

$26^\circ + 24^\circ + y = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

x = 66°

y = 57°

(2)

x = 24°

y = 130°