問題[4]では、三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQの比を求める。 問題[5]では、四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線を$l$とする。このとき、$\angle BCD$の大きさを求める。

1. 問題の内容

問題[4]では、三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQの比を求める。

問題[5]では、四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線を$l$とする。このとき、$\angle BCD$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

問題[4]：

チェバの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{8}{9}$

メネラウスの定理を三角形APCと直線BQに適用する。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{PR}{RA} = \frac{9}{14}$

よって、$\frac{AR}{RP} = \frac{14}{9}$

メネラウスの定理を三角形BCQと直線APに適用する。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{QR}{RB} = \frac{8}{15}$

よって、$\frac{BR}{RQ} = \frac{15}{8}$

問題[5]：

円に内接する四角形の対角の和は180度であるから、

$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$

接線と弦のなす角の定理より、$\angle DAB = \angle ACB + \angle CBA = 42^{\circ} + 25^{\circ} = 67^{\circ}$

したがって、$\angle BCD = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}$

3. 最終的な答え

問題[4]：

AR:RP = 14 : 9

BR:RQ = 15 : 8

問題[5]：

$\angle BCD = 113^{\circ}$