(1) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $BC=5$, $CA=6$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$, $\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。このとき、$BE$ と $DE$ の長さを求める。 (2) 四角形 $ABCD$ は平行四辺形であり、対角線の交点を $O$, 辺 $BC$ の中点を $E$, 線分 $AE$ と $BD$ の交点を $F$ とする。このとき、$AF:FE$ と $\triangle AFO : \square ABCD$ の比を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $BC=5$, $CA=6$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$, $\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。このとき、$BE$ と $DE$ の長さを求める。

(2) 四角形 $ABCD$ は平行四辺形であり、対角線の交点を $O$, 辺 $BC$ の中点を $E$, 線分 $AE$ と $BD$ の交点を $F$ とする。このとき、$AF:FE$ と $\triangle AFO : \square ABCD$ の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:6 = 2:3$ である。$BC=5$ より、$BD = 5 \times \frac{2}{2+3} = 2$。

$\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。角の二等分線の性質より、$BE:CE = AB:AC = 4:6 = 2:3$ である。$BE:CE = 2:3$ より、$BE:BC = 2:1$ となるため、$BE = 2BC = 2 \times 5 = 10$ となる。

したがって、$DE = BE + BD = 10 + 2 = 12$ となる。

(2)

$BE=EC$ (EはBCの中点) であるから、$BE:BC = 1:2$

$\triangle FBE \sim \triangle FDA$ (対頂角と平行線の錯角で二角相等)

$BE : AD = 1:2$ (AD=BC)

したがって、$FB:FD = BE:AD = 1:2$

$BF : BD = 1:3$ となる。

$\triangle ABE$ において、メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CE} \times \frac{EF}{FA} \times \frac{AO}{OB} = 1$

$\frac{2}{1} \times \frac{EF}{FA} \times \frac{1}{1} = 1$

$\frac{EF}{FA} = \frac{1}{2}$

よって、$AF:FE = 2:1$

$\triangle AFO = \frac{1}{2} AO \times AF \times \sin{\angle AOF}$

平行四辺形ABCDの面積は、$BD \times h$と表せる。ここで、hはBからADにおろした垂線の長さ。

$\triangle AFO = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} BD) \times \frac{2}{3} AE \times \sin{\angle AOF}$

平行四辺形 $ABCD = \frac{1}{2}BD \times h$

$E$は$BC$の中点なので、$AE = \frac{1}{2}AD$

$\triangle AFO : \square ABCD = (\frac{1}{2}BD \times \frac{2}{3} AE) : (BD \times AD)$

$\triangle AFO : \square ABCD = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times BD \times h \times \frac{2}{3}) : (BD \times h)$

$\triangle AFO : \square ABCD = \frac{1}{6}:1 = 1:6$

3. 最終的な答え

(1)

$BE = 10$

$DE = 12$

(2)

$AF:FE = 2:1$

$\triangle AFO : \square ABCD = 1:6$