平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分の比AF:FEと三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分の比AF:FEと三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

2. 解き方の手順

まず、AF:FEを求める。

三角形BEFと三角形DAFに着目する。

BE//ADより、錯角が等しいので、$\angle FBE = \angle FDA$、$\angle FEB = \angle FAD$が成り立つ。

したがって、三角形BEFと三角形DAFは相似である。

BEはBCの半分なので、$BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD$

したがって、相似比は$BE:AD = 1:2$

したがって、$AF:FE = AD:BE = 2:1$

次に、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

平行四辺形ABCDの面積をSとする。

三角形ABDの面積は$\frac{1}{2}S$

三角形ABOの面積は$\frac{1}{4}S$

$AF:AE = 2:3$なので、三角形AFOの面積は$\frac{2}{3}$×三角形AEO

ここで、三角形ABE = $\frac{1}{2}$×三角形ABC = $\frac{1}{4}$S

また三角形ABOは、BOを底辺と見ると$\frac{1}{4}$Sであり、三角形AEOは、EOを底辺と見ると$\frac{1}{8}$Sである。

すると、三角形AFO = $\frac{AF}{AE}$×三角形AEO = $\frac{2}{3}$×$\frac{1}{8}$S = $\frac{1}{12}$S

したがって、三角形AFO:平行四辺形ABCD = $\frac{1}{12}S:S = 1:12$

3. 最終的な答え

AF:FE = 2:1

三角形AFO:平行四辺形ABCD = 1:12