問題は以下の通りです。 (1) $a, b$ は整数で、$a$ を7で割ると1余り、$b$ を7で割ると4余るとき、$a^2 + b^2$ を7で割った余りを求めよ。 (2) 1, 3, 5のように連続する3つの正の奇数の中には、必ず3の倍数があることを示せ。 (3) $n$ が整数のとき、$n^3 - n + 1$ を6で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $a, b$ は整数で、$a$ を7で割ると1余り、$b$ を7で割ると4余るとき、$a^2 + b^2$ を7で割った余りを求めよ。

(2) 1, 3, 5のように連続する3つの正の奇数の中には、必ず3の倍数があることを示せ。

(3) $n$ が整数のとき、$n^3 - n + 1$ を6で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a$ を7で割ると1余るので、$a = 7k + 1$ ($k$ は整数) と表せます。

$b$ を7で割ると4余るので、$b = 7l + 4$ ($l$ は整数) と表せます。

したがって、$a^2 + b^2 = (7k + 1)^2 + (7l + 4)^2 = 49k^2 + 14k + 1 + 49l^2 + 56l + 16 = 49k^2 + 49l^2 + 14k + 56l + 17$

$= 7(7k^2 + 7l^2 + 2k + 8l + 2) + 3$

よって、$a^2 + b^2$ を7で割った余りは3です。

(2)

連続する3つの正の奇数は、$2n-1, 2n+1, 2n+3$ ($n$ は自然数)と表せます。

このとき、$2n-1, 2n+1, 2n+3$ を3で割った余りを考えます。

$2n-1$ が3の倍数のとき、条件を満たします。

$2n-1$ が3の倍数でないとき、$2n-1 = 3k+1$ または $2n-1 = 3k+2$ ($k$ は整数)と表せます。

$2n-1 = 3k+1$ のとき、$2n = 3k+2$ なので、$2n+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ となり、$2n+1$ は3の倍数です。

$2n-1 = 3k+2$ のとき、$2n = 3k+3 = 3(k+1)$ なので、$2n+3 = 3k+5 = 3k + 6 - 1 = 3(k+2)-1$、$2n + 1 = 3k + 4$となります。この場合、$2n+3 = 2n-1+4 = 3k + 6 = 3(k+2)$となり、$2n+3$は3の倍数です。

いずれの場合でも、連続する3つの正の奇数の中に3の倍数が存在することが示されました。

(3)

$n^3 - n + 1 = n(n^2 - 1) + 1 = n(n - 1)(n + 1) + 1 = (n - 1)n(n + 1) + 1$

$(n - 1)n(n + 1)$ は連続する3つの整数の積なので、6の倍数です。

したがって、$(n - 1)n(n + 1) = 6k$ ($k$ は整数)と表せます。

$n^3 - n + 1 = 6k + 1$

よって、$n^3 - n + 1$ を6で割った余りは1です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 証明終了

(3) 1