袋の中に赤球3個と白球6個が入っている。この中から球を1個ずつ3回取り出す。取り出した球は元に戻す。以下の確率をそれぞれ求める。 (1) 3回とも赤球を取り出す確率 (2) 白、赤、白の順に取り出す確率 (3) 赤球を2回、白球を1回取り出す確率

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個と白球6個が入っている。この中から球を1個ずつ3回取り出す。取り出した球は元に戻す。以下の確率をそれぞれ求める。

(1) 3回とも赤球を取り出す確率

(2) 白、赤、白の順に取り出す確率

(3) 赤球を2回、白球を1回取り出す確率

2. 解き方の手順

(1) 3回とも赤球を取り出す確率

1回の試行で赤球を取り出す確率は $\frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ である。3回の試行は独立なので、3回とも赤球を取り出す確率は、

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

(2) 白、赤、白の順に取り出す確率

1回の試行で白球を取り出す確率は $\frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ である。

白、赤、白の順に取り出す確率は、

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

(3) 赤球を2回、白球を1回取り出す確率

3回の試行で赤球が2回、白球が1回出る順序は、赤赤白、赤白赤、白赤赤の3通りある。

それぞれの確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$

$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

したがって、求める確率は、

$\frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{4}{27}$

(3) $\frac{2}{9}$