2チームA,Bが試合を行い、先に3勝したチームが優勝する。AがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$、BがAに勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けはないものとする。 (6) Aが3勝1敗で優勝する確率を求めよ。 (7) Aが3勝2敗で優勝する確率を求めよ。 (8) Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

2チームA,Bが試合を行い、先に3勝したチームが優勝する。AがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$、BがAに勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けはないものとする。

(6) Aが3勝1敗で優勝する確率を求めよ。

(7) Aが3勝2敗で優勝する確率を求めよ。

(8) Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(6) Aが3勝1敗で優勝するのは、Aが3勝目で優勝するとき、その前の3試合でAが2勝1敗する必要がある。この場合の数は$_3C_2$である。よって求める確率は、

$_3C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(7) Aが3勝2敗で優勝するのは、Aが3勝目で優勝するとき、その前の4試合でAが2勝2敗する必要がある。この場合の数は$_4C_2$である。よって求める確率は、

$_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3}) = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81}$

(8) Aが優勝するのは、Aが3勝0敗、3勝1敗、3勝2敗の場合である。

Aが3勝0敗で優勝する確率は、$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Aが3勝1敗で優勝する確率は(6)より$\frac{8}{27}$

Aが3勝2敗で優勝する確率は(7)より$\frac{16}{81}$

よって、Aが優勝する確率は、

$\frac{8}{27} + \frac{8}{27} + \frac{16}{81} = \frac{24}{81} + \frac{24}{81} + \frac{16}{81} = \frac{64}{81}$

3. 最終的な答え

(6) $\frac{8}{27}$

(7) $\frac{16}{81}$

(8) $\frac{64}{81}$