(4) 点Aの座標が(-1, 2)であり、ベクトル $\vec{n}=(3, -4)$ に垂直な直線の方程式を求める。 (5) 平面上の異なる2点O, Aに対して、$\vec{OA}=\vec{a}$とする。ベクトル方程式 $\frac{|\vec{p}|^2}{2} - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ を満たす点P($\vec{p}$)全体の集合がどのような図形か求める。

1. 問題の内容

(4) 点Aの座標が(-1, 2)であり、ベクトル $\vec{n}=(3, -4)$ に垂直な直線の方程式を求める。

(5) 平面上の異なる2点O, Aに対して、$\vec{OA}=\vec{a}$とする。ベクトル方程式 $\frac{|\vec{p}|^2}{2} - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ を満たす点P($\vec{p}$)全体の集合がどのような図形か求める。

2. 解き方の手順

(4)

点A($x_0$, $y_0$)を通り、ベクトル $\vec{n}=(a, b)$ に垂直な直線の方程式は、

$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ で表される。

この問題では、点A(-1, 2)を通り、$\vec{n}=(3, -4)$ に垂直なので、直線の方程式は、

$3(x - (-1)) + (-4)(y - 2) = 0$

$3(x + 1) - 4(y - 2) = 0$

$3x + 3 - 4y + 8 = 0$

$3x - 4y + 11 = 0$

(5)

$\frac{|\vec{p}|^2}{2} - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{p} = (x, y)$、$\vec{a} = (a_1, a_2)$とすると、$\vec{OA}=\vec{a}$より、点Aの座標は$(a_1, a_2)$。

$\frac{x^2 + y^2}{2} - x a_1 - y a_2 = 0$

$x^2 + y^2 - 2 a_1 x - 2 a_2 y = 0$

$(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 - a_1^2 - a_2^2 = 0$

$(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2$

$(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 = |\vec{a}|^2$

これは、中心が(a1, a2)、半径が$|\vec{a}|$の円の方程式である。つまり中心A、半径OAの円を表す。ただし、原点Oを除く。なぜなら、OとAは異なる2点だからである。

3. 最終的な答え

(4) $3x - 4y + 11 = 0$

(5) 中心A、半径OAの円 (ただし、原点Oを除く)