(4) 点 $A(-1, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (3, -4)$ に垂直な直線の方程式を求める問題。 (5) 平面上の異なる2点O, Aに対して $\vec{OA} = \vec{a}$ とするとき、ベクトル方程式 $\vert \vec{p} \vert^2 - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ を満たす点P($\vec{p}$)全体の集合がどのような図形かを答える問題。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(4) 点 $A(-1, 2)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (3, -4)$ に垂直な直線の方程式を求める問題。

(5) 平面上の異なる2点O, Aに対して $\vec{OA} = \vec{a}$ とするとき、ベクトル方程式 $\vert \vec{p} \vert^2 - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ を満たす点P($\vec{p}$)全体の集合がどのような図形かを答える問題。

2. 解き方の手順

(4)

ベクトル $\vec{n} = (3, -4)$ に垂直な直線上の任意の点をP($\vec{p}$)とする。

直線上の点A($\vec{a}$)の位置ベクトルを$\vec{a} = (-1, 2)$とすると、$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$が成り立つ。

よって、$\vec{p} = (x, y)$とすると、

$3(x - (-1)) - 4(y - 2) = 0$

$3(x + 1) - 4(y - 2) = 0$

$3x + 3 - 4y + 8 = 0$

$3x - 4y + 11 = 0$

(5)

$\vec{p} = (x, y)$, $\vec{a} = (a_1, a_2)$とすると、$\vert \vec{p} \vert^2 - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$は

$x^2 + y^2 - (x, y) \cdot (a_1, a_2) = 0$

$x^2 + y^2 - (a_1 x + a_2 y) = 0$

$x^2 - a_1 x + y^2 - a_2 y = 0$

$(x - \frac{a_1}{2})^2 - (\frac{a_1}{2})^2 + (y - \frac{a_2}{2})^2 - (\frac{a_2}{2})^2 = 0$

$(x - \frac{a_1}{2})^2 + (y - \frac{a_2}{2})^2 = (\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{a_2}{2})^2$

$(x - \frac{a_1}{2})^2 + (y - \frac{a_2}{2})^2 = \frac{a_1^2 + a_2^2}{4}$

$(x - \frac{a_1}{2})^2 + (y - \frac{a_2}{2})^2 = (\frac{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}{2})^2$

$(x - \frac{a_1}{2})^2 + (y - \frac{a_2}{2})^2 = (\frac{\vert \vec{a} \vert}{2})^2$

これは、中心$(\frac{a_1}{2}, \frac{a_2}{2})$、半径$\frac{\vert \vec{a} \vert}{2}$の円を表す。

$\vec{a}$は$\vec{OA}$なので、中心は線分OAの中点であり、半径は線分OAの長さの半分、つまりOAの中点までの距離である。よって、点Oを通り、線分OAを直径とする円。

3. 最終的な答え

(4) $3x - 4y + 11 = 0$

(5) 線分OAを直径とする円