赤玉3個と白玉9個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、袋に戻す試行を4回繰り返します。このとき、白玉をちょうど3回取り出す確率を求めます。

1. 問題の内容

赤玉3個と白玉9個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、袋に戻す試行を4回繰り返します。このとき、白玉をちょうど3回取り出す確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

* 1回の試行で白玉が出る確率は、$\frac{9}{3+9} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ です。

* 1回の試行で赤玉が出る確率は、$\frac{3}{3+9} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ です。

* 4回の試行のうち、白玉が3回、赤玉が1回出る確率を求めます。

* 白玉が3回、赤玉が1回出る順番の組み合わせは、$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

* したがって、求める確率は次のようになります。

$$$$

_4C_3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1

$$$$

$$$$

= 4 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{4}

$$$$

$$$$

= \frac{4 \times 27}{64 \times 4}

$$$$

$$$$

= \frac{27}{64}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{64}$