(1) ユークリッドの互除法を用いて、8177と3315の最大公約数を求める問題。 (2) $589/899$ を既約分数で表す問題。 (3) $17x + 5y = 1$ の整数解を全て求める問題。 (4) $27x - 13y = 2$ の整数解を全て求める問題。

1. 問題の内容

(1) ユークリッドの互除法を用いて、8177と3315の最大公約数を求める問題。

(2) $589/899$ を既約分数で表す問題。

(3) $17x + 5y = 1$ の整数解を全て求める問題。

(4) $27x - 13y = 2$ の整数解を全て求める問題。

2. 解き方の手順

(1) ユークリッドの互除法を用いて8177と3315の最大公約数を求めます。

- $8177 = 3315 \times 2 + 1547$

- $3315 = 1547 \times 2 + 221$

- $1547 = 221 \times 7 + 0$

よって、最大公約数は221です。

(2) $589/899$ を既約分数で表します。 まず、589と899の最大公約数を求めます。

- $899 = 589 \times 1 + 310$

- $589 = 310 \times 1 + 279$

- $310 = 279 \times 1 + 31$

- $279 = 31 \times 9 + 0$

よって、最大公約数は31です。

$589 = 31 \times 19$

$899 = 31 \times 29$

したがって、$589/899 = (31 \times 19) / (31 \times 29) = 19/29$。

(3) $17x + 5y = 1$ の整数解を全て求めます。

特殊解を見つけます。例えば、$x=-1$, $y=3$は解の一つです。

$17(-1) + 5(3) = -17 + 15 = -2$

$17(2) + 5(-7) = 34 - 35 = -1$

$17(-2) + 5(7) = -34 + 35 = 1$

よって、$x=-2$, $y=7$は特殊解の一つです。

一般解は $x = -2 + 5k$, $y = 7 - 17k$ （$k$は整数）。

(4) $27x - 13y = 2$ の整数解を全て求めます。

特殊解を見つけます。例えば、$x=1$, $y=2/13$

$27(1) - 13(2) = 1$

$27(2) - 13(54/13)= 54$

$27(2)-13(4)= 2$

$27*13 = 351$

$-13*27=351$

$27(2)-13(4)= 54-52=2$

$27x-13y=2$

$27(2)-13(4)=2$

$27(x-2) -13(y-4)=0$

$27(x-2) = 13(y-4)$

$27$と$13$は互いに素なので、ある整数$k$を用いて

$x-2=13k$, $y-4 = 27k$と表せる

$x=13k+2$, $y = 27k+4$（$k$は整数）

3. 最終的な答え

(1) 221

(2) $19/29$

(3) $x = -2 + 5k$, $y = 7 - 17k$ （$k$は整数）

(4) $x=13k+2$, $y = 27k+4$（$k$は整数）