複素数 $z = 1 - \sqrt{3}i$ と $w = 1 + i$ が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。 (1) $zw$ (2) $\frac{z}{w}$

代数学複素数極形式複素数の積複素数の商
2025/7/9

1. 問題の内容

複素数 z=13iz = 1 - \sqrt{3}iw=1+iw = 1 + i が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。
(1) zwzw
(2) zw\frac{z}{w}

2. 解き方の手順

まず、zzww を極形式で表します。
z=13iz = 1 - \sqrt{3}i について、
絶対値 z=12+(3)2=1+3=4=2|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
偏角 arg(z)=tan1(31)=π3\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} (第4象限にあるので)
よって、z=2(cos(π3)+isin(π3))z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
w=1+iw = 1 + i について、
絶対値 w=12+12=1+1=2|w| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
偏角 arg(w)=tan1(11)=π4\arg(w) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} (第1象限にあるので)
よって、w=2(cos(π4)+isin(π4))w = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)
(1) zwzw について
zw=2(cos(π3)+isin(π3))2(cos(π4)+isin(π4))zw = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)
=22(cos(π3+π4)+isin(π3+π4))= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)\right)
=22(cos(4π12+3π12)+isin(4π12+3π12))= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right)\right)
=22(cos(π12)+isin(π12))= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)
(2) zw\frac{z}{w} について
zw=2(cos(π3)+isin(π3))2(cos(π4)+isin(π4))\frac{z}{w} = \frac{2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}
=22(cos(π3π4)+isin(π3π4))= \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)\right)
=2(cos(4π123π12)+isin(4π123π12))= \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right)\right)
=2(cos(7π12)+isin(7π12))= \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)

3. 最終的な答え

(1) zw=22(cos(π12)+isin(π12))zw = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)
(2) zw=2(cos(7π12)+isin(7π12))\frac{z}{w} = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)

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