複素数 $z = 1 - \sqrt{3}i$ と $w = 1 + i$ が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。 (1) $zw$ (2) $\frac{z}{w}$

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 - \sqrt{3}i$ と $w = 1 + i$ が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。

(1) $zw$

(2) $\frac{z}{w}$

2. 解き方の手順

まず、$z$ と $w$ を極形式で表します。

$z = 1 - \sqrt{3}i$ について、

絶対値 $|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$ （第4象限にあるので）

よって、$z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

$w = 1 + i$ について、

絶対値 $|w| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

偏角 $\arg(w) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ （第1象限にあるので）

よって、$w = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

(1) $zw$ について

$zw = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right)\right)$

$= 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)$

(2) $\frac{z}{w}$ について

$\frac{z}{w} = \frac{2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}$

$= \frac{2}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$= \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right)\right)$

$= \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)$

3. 最終的な答え

(1) $zw = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)$

(2) $\frac{z}{w} = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)$