点(3, 1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線のうち、傾きが正であるものの式を求める問題です。

1. 問題の内容

点(3, 1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線のうち、傾きが正であるものの式を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 接線の傾きを $m$ とおくと、接線の方程式は

$y - 1 = m(x - 3)$

$y = mx - 3m + 1$

と表せます。

2. この直線が円 $x^2 + y^2 = 5$ に接するので、円の中心(0, 0)と直線との距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しくなります。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - 3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

3. 両辺を2乗して絶対値を外すと、

$(-3m + 1)^2 = 5(m^2 + 1)$

$9m^2 - 6m + 1 = 5m^2 + 5$

$4m^2 - 6m - 4 = 0$

$2m^2 - 3m - 2 = 0$

$(2m + 1)(m - 2) = 0$

$m = -\frac{1}{2}, 2$

4. 傾きが正であるものを求めるので、$m = 2$ が該当します。

5. よって、接線の方程式は

$y = 2x - 3(2) + 1$

$y = 2x - 6 + 1$

$y = 2x - 5$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 5$