2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面 $ax + by + cz + d = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_1}$ は $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ です。

平面 $y - z + 2 = 0$ の法線ベクトル $\vec{n_2}$ は $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

2つの平面のなす角 $\theta$ は、それらの法線ベクトル間の角に等しく、以下の式で計算できます。

$\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

ここで、$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ は $\vec{n_1}$ と $\vec{n_2}$ の内積を表し、$|\vec{n_1}|$ と $|\vec{n_2}|$ はそれぞれのベクトルの大きさを表します。

まず、内積 $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ を計算します。

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (2)(-1) = 0 - 1 - 2 = -3$

次に、ベクトルの大きさ $|\vec{n_1}|$ と $|\vec{n_2}|$ を計算します。

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は $\frac{5\pi}{6}$ です。

しかし、平面のなす角は通常、鋭角で表されるため、$\theta = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ でありえます。 また、$|\cos \theta|$ を使うことで鋭角を得ることも可能です。

$\theta = \arccos |\frac{-\sqrt{3}}{2}| = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

したがって、平面のなす角は $\frac{\pi}{6}$ ラジアン、つまり $30^{\circ}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$