4点O(0,0,0), A(2, -1, 6), B(4, 2, 7), C(2, 7, a)が同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$となる実数$s$, $t$がある。$s$, $t$の値を求め、それを用いて$a$の値を求める問題。

1. 問題の内容

4点O(0,0,0), A(2, -1, 6), B(4, 2, 7), C(2, 7, a)が同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$となる実数$s$, $t$がある。$s$, $t$の値を求め、それを用いて$a$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$を成分で表すと以下のようになる。

$\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ a \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$

これを成分ごとに分解すると、以下の3つの式が得られる。

$2 = 2s + 4t$

$7 = -s + 2t$

$a = 6s + 7t$

最初の2つの式から、$s$と$t$を求める。まず、最初の式を2で割ると、

$1 = s + 2t$となる。

これと、$7 = -s + 2t$を足し合わせると、

$8 = 4t$

したがって、$t = 2$

$1 = s + 2t$に$t=2$を代入すると、

$1 = s + 4$

したがって、$s = -3$

最後に、$a = 6s + 7t$に$s = -3$と$t = 2$を代入すると、

$a = 6(-3) + 7(2)$

$a = -18 + 14$

$a = -4$

3. 最終的な答え

$s = -3$, $t = 2$, $a = -4$