$AB = AC = 9$, $BC = 6$ である $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ の二等分線と線分 $BC$ の交点を $H$ とする。$\triangle ABC$ の外心 $O$ と内心 $I$ は線分 $AH$ 上にある。このとき、$AO$ の長さと $AI$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$AB = AC = 9$, $BC = 6$ である $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ の二等分線と線分 $BC$ の交点を $H$ とする。$\triangle ABC$ の外心 $O$ と内心 $I$ は線分 $AH$ 上にある。このとき、$AO$ の長さと $AI$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$AH$ の長さを求める。$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、$AH$ は $BC$ を垂直に二等分する。したがって、$BH = HC = \frac{1}{2}BC = 3$ である。三平方の定理より、

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$AH^2 + 3^2 = 9^2$

$AH^2 = 81 - 9 = 72$

$AH = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

次に、$\triangle ABC$ の外半径 $R$、つまり $AO$ の長さを求める。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ である。

$\sin A$ を求めるために、$\cos A$ を求める。

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{9^2 + 9^2 - 6^2}{2 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{81 + 81 - 36}{162} = \frac{126}{162} = \frac{7}{9}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{32}{81}$

$\sin A = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

したがって、$2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{6}{\frac{4\sqrt{2}}{9}} = \frac{6 \cdot 9}{4\sqrt{2}} = \frac{54}{4\sqrt{2}} = \frac{27}{2\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{4}$

$R = \frac{27\sqrt{2}}{8}$

$AO = R = \frac{27\sqrt{2}}{8}$

次に、$\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求める。

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

また、$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + CA) = \frac{1}{2} r (9 + 6 + 9) = \frac{1}{2} r (24) = 12r$

したがって、$12r = 18\sqrt{2}$ より、$r = \frac{18\sqrt{2}}{12} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

内心 $I$ は $\angle BAC$ の二等分線上にあるので、$I$ は $AH$ 上にある。$AI$ の長さを求める。

$\triangle ABI$ の面積を考えると、$\angle BAH = \frac{A}{2}$ より、$\tan \frac{A}{2} = \frac{BH}{AH} = \frac{3}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$r = AI \sin \frac{A}{2}$ となるので、$AI = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$

$AI = AH - IH$ であり、$IH = r$

$\sin A = 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$

$\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$AH - AI = r$ である。

$AI = AH - r = 6\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$AO$ の長さ: $\frac{27\sqrt{2}}{8}$

$AI$ の長さ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$