問題は、下図において $BC = 1$, $BD = 4$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$ であるとき、$\angle D = \theta$ として、$\sin \theta$ の値を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、下図において $BC = 1$, $BD = 4$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$ であるとき、$\angle D = \theta$ として、$\sin \theta$ の値を求める、というものです。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形 $ABC$ において、$AB$ の長さを求めます。

$\angle ABC = 60^\circ$ なので、

$\frac{BC}{AB} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$AB = 2BC = 2 \times 1 = 2$

次に、三角形 $ABD$ において、余弦定理を適用します。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos \angle ABD$

ここで、$\angle ABD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ なので、$\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}$

$AD^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \times 2 \times 4 \times (- \frac{1}{2}) = 4 + 16 + 8 = 28$

$AD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

次に、三角形 $ABD$ において、正弦定理を適用します。

$\frac{AB}{\sin \theta} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin \angle ABD}$

$\frac{2}{\sin \theta} = \frac{AD}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin \theta = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{14}$