1から6までの数字が書かれた6枚のカードから3枚を選ぶとき、選んだ3枚のカードの数字の最大値の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

1から6までの数字が書かれた6枚のカードから3枚を選ぶとき、選んだ3枚のカードの数字の最大値の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3枚のカードの選び方は全部で ${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りあります。

次に、最大値が $k$ であるような選び方を考えます。ここで $k$ は3から6までの整数です。

最大値が $k$ であるためには、まず $k$ のカードを選び、残りの2枚は $1$ から $k-1$ までのカードから選ぶ必要があります。

$1$ から $k-1$ までのカードから2枚を選ぶ方法は ${}_{k-1}C_2$ 通りです。

ただし $k=3$ のとき ${}_{3-1}C_2 = {}_2C_2 = 1$ 通り、$k=4$ のとき ${}_{4-1}C_2 = {}_3C_2 = 3$ 通り、$k=5$ のとき ${}_{5-1}C_2 = {}_4C_2 = 6$ 通り、$k=6$ のとき ${}_{6-1}C_2 = {}_5C_2 = 10$ 通りです。

それぞれの最大値となる確率と、最大値の積を計算し、それらを合計したものが期待値になります。

最大値が3となる確率は $1/20$

最大値が4となる確率は $3/20$

最大値が5となる確率は $6/20$

最大値が6となる確率は $10/20$

期待値は $3 \times \frac{1}{20} + 4 \times \frac{3}{20} + 5 \times \frac{6}{20} + 6 \times \frac{10}{20} = \frac{3 + 12 + 30 + 60}{20} = \frac{105}{20} = \frac{21}{4} = 5.25$

3. 最終的な答え

5. 25