ジュースの売店があり、晴れた日には1日に200杯、晴れた日以外には1日に100杯のジュースが売れる。ジュース1杯の原価は150円、売価は300円であり、売れ残りはすべて廃棄するものとする。晴れる確率が80%であるとき、利益の期待値を最大にするには何杯のジュースを用意しておけばよいか。

1. 問題の内容

ジュースの売店があり、晴れた日には1日に200杯、晴れた日以外には1日に100杯のジュースが売れる。ジュース1杯の原価は150円、売価は300円であり、売れ残りはすべて廃棄するものとする。晴れる確率が80%であるとき、利益の期待値を最大にするには何杯のジュースを用意しておけばよいか。

2. 解き方の手順

用意するジュースの数を $x$ とする。

* **晴れた場合（確率80%）**

* $x \le 200$ ならば、すべて売れる。利益は $300x - 150x = 150x$。

* $x > 200$ ならば、200杯売れる。利益は $300 \times 200 - 150x = 60000 - 150x$。

* **晴れない場合（確率20%）**

* $x \le 100$ ならば、すべて売れる。利益は $300x - 150x = 150x$。

* $x > 100$ ならば、100杯売れる。利益は $300 \times 100 - 150x = 30000 - 150x$。

利益の期待値 $E$ は、以下のように表せる。

$E = 0.8 \times ($晴れた場合の利益$) + 0.2 \times ($晴れない場合の利益$)$

$x$ の値によって場合分けして期待値を計算し、最大となる $x$ を求める。

* **$x \le 100$ のとき**

$E = 0.8 \times (150x) + 0.2 \times (150x) = 150x$

$x$ が大きいほど $E$ は大きくなるので、$x = 100$ のとき、$E = 15000$

* **$100 < x \le 200$ のとき**

$E = 0.8 \times (150x) + 0.2 \times (30000 - 150x) = 120x + 6000 - 30x = 90x + 6000$

$x$ が大きいほど $E$ は大きくなるので、$x = 200$ のとき、$E = 90 \times 200 + 6000 = 18000 + 6000 = 24000$

* **$x > 200$ のとき**

$E = 0.8 \times (60000 - 150x) + 0.2 \times (30000 - 150x) = 48000 - 120x + 6000 - 30x = 54000 - 150x$

$x$ が小さいほど $E$ は大きくなるので、$x = 201$ のとき、$E = 54000 - 150 \times 201 = 54000 - 30150 = 23850$

$E$ を最大にする $x$ は、200杯である。

3. 最終的な答え

200杯