## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ について、以下の問いに答える問題です。

1. $y' = 0$ を満たす $x$ の値を求める。

2. $y''$ を求める。

3. 増減表を完成させる。

4. 関数 $y = xe^x$ のグラフを描く (ただし、$\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ を利用する)。

5. $-2 \le x \le 0$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

6. 方程式 $xe^x = a$ の実数解がただ1つであるときの定数 $a$ の範囲を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) $y' = 0$ を満たす $x$ の値を求める**

まず、$y = xe^x$ を微分して $y'$ を求めます。積の微分法を用いると、

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

$y' = 0$ となるのは、$(1+x)e^x = 0$ のときです。$e^x > 0$ なので、$1+x = 0$ 、つまり $x = -1$ となります。

**(2) $y''$ を求める**

$y' = (1+x)e^x$ をさらに微分して $y''$ を求めます。再び積の微分法を用いると、

$y'' = (1+x)'e^x + (1+x)(e^x)' = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x$

**(3) 増減表を完成させる**

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :----- | :------ | :------- | :------ | :------- | :------ | :------ | :------ |

| y' | - | | - | 0 | + | + | + |

| y'' | - | | - | - | + | + | + |

| y | ↘ | $-2e^{-2}$ | ↘ | $-e^{-1}$ | ↗ | 0 | ↗ |

増減表の空欄を埋めます。

* $x = -2$ のとき、$y = -2e^{-2}$

* $x = -1$ のとき、$y = -e^{-1}$

* $x = 0$ のとき、$y = 0$

$y'=0$となる$x=-1$を境にして、$y'$の符号が負から正に変わるので、$x=-1$のとき極小値をとり、また、$y''=0$となる$x=-2$を境に、$y''$の符号が負から正に変わるので、$x=-2$のとき変曲点となります。

したがって、増減表の（ア）～（コ）に当てはまる記号は次のようになります。

* (ア) : -1

* (ウ) : -2e^{-2}

* (エ) : -e^{-1}

* (オ) : ②

* (カ) : ③

* (キ) : ②

* (ケ) : ⑤

* (コ) : ⑤

**(4) 関数 $y = xe^x$ のグラフを描く**

増減表と $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ を利用してグラフを描きます。グラフは、$x = -1$ で極小値を持ち、 $x=0$ で $y=0$ となるように描きます。$x \to -\infty$ で $y \to 0$ に近づくように描きます。グラフの概形は省略します。

**(5) $-2 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める**

$-2 \le x \le 0$ の範囲では、増減表から $x = -1$ で最小値 $-e^{-1}$ をとり、$x=0$ で最大値 $0$ をとることがわかります。 $x=-2$のときは$y=-2e^{-2}$です。$-2e^{-2}>-e^{-1}$ なので、$x=-1$で最小値をとります。

**(6) 方程式 $xe^x = a$ の実数解がただ1つであるときの定数 $a$ の範囲を求める**

方程式 $xe^x = a$ の実数解は、関数 $y = xe^x$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の $x$ 座標に対応します。グラフから、$a > 0$ のとき、解はただ1つです。また、$a = -e^{-1}$ のときも解はただ1つです。

したがって、方程式 $xe^x = a$ の実数解がただ1つであるのは、$a > 0$ または $a = -e^{-1}$ のときです。

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3. 最終的な答え

1. $x = -1$

2. $y'' = (2+x)e^x$

3. 増減表:

* (ア): -1

* (ウ): $-2e^{-2}$

* (エ): $-e^{-1}$

* (オ): ②

* (カ): ③

* (キ): ②

* (ケ): ⑤

* (コ): ⑤

4. グラフ: （省略）

5. 最大値: $0$ ($x = 0$ のとき), 最小値: $-e^{-1}$ ($x = -1$ のとき)

6. $a > 0$ または $a = -e^{-1}$