与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 2x - 3} dx$ (2) $\int \frac{1}{(x-2)(x+1)^2} dx$ (3) $\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+3)} dx$ (4) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 2x - 3} dx$

(2) $\int \frac{1}{(x-2)(x+1)^2} dx$

(3) $\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+3)} dx$

(4) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 2x - 3} dx$

まず、分子を分母で割ります。

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x^2 + 2x - 3)(x+1)$.

よって被積分関数は $x+1$ となります。

$\int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$

(2) $\int \frac{1}{(x-2)(x+1)^2} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-2)(x+1)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$1 = A(x+1)^2 + B(x-2)(x+1) + C(x-2)$

$x=2$ のとき, $1 = A(3)^2$, よって $A = \frac{1}{9}$

$x=-1$ のとき, $1 = C(-1-2)$, よって $C = -\frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{9}(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 - x - 2) - \frac{1}{3}(x-2)$

$1 = \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{1}{9} + Bx^2 - Bx - 2B - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

係数比較をして, $x^2$ の係数は $0 = \frac{1}{9} + B$, よって $B = -\frac{1}{9}$.

$\int \frac{1}{(x-2)(x+1)^2} dx = \int \left(\frac{1/9}{x-2} - \frac{1/9}{x+1} - \frac{1/3}{(x+1)^2}\right) dx$

$= \frac{1}{9}\ln|x-2| - \frac{1}{9}\ln|x+1| + \frac{1}{3(x+1)} + C$

$= \frac{1}{9}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + \frac{1}{3(x+1)} + C$

(3) $\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+3)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(x-1)^2 (x^2+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$

$x = A(x-1)(x^2+3) + B(x^2+3) + (Cx+D)(x-1)^2$

$x = A(x^3 - x^2 + 3x - 3) + B(x^2+3) + (Cx+D)(x^2 - 2x + 1)$

$x = Ax^3 - Ax^2 + 3Ax - 3A + Bx^2 + 3B + Cx^3 - 2Cx^2 + Cx + Dx^2 - 2Dx + D$

$x^3: 0 = A+C$

$x^2: 0 = -A+B-2C+D$

$x: 1 = 3A+C-2D$

定数: $0 = -3A+3B+D$

$x=1$ のとき $1 = B(1+3)$, よって $B = \frac{1}{4}$

$A+C = 0$, $C=-A$

$-A+\frac{1}{4}+2A+D=0$, $A+D = -\frac{1}{4}$

$3A-A-2D=1$, $2A-2D = 1$, $A-D = \frac{1}{2}$

$A+D = -\frac{1}{4}$, $2A = \frac{1}{4}$, $A = \frac{1}{8}$, $C=-\frac{1}{8}$

$D = -\frac{1}{4} - A = -\frac{1}{4} - \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$

$\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+3)} dx = \int \left(\frac{1/8}{x-1} + \frac{1/4}{(x-1)^2} + \frac{(-1/8)x - 3/8}{x^2+3}\right) dx$

$= \frac{1}{8}\ln|x-1| - \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{8} \int \frac{x}{x^2+3} dx - \frac{3}{8} \int \frac{1}{x^2+3} dx$

$= \frac{1}{8}\ln|x-1| - \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{16}\ln(x^2+3) - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

$= \frac{1}{8}\ln|x-1| - \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{16}\ln(x^2+3) - \frac{\sqrt{3}}{8} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

(4) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

$\int \csc x dx = \int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx$

$u = \cos x$, $du = -\sin x dx$

$\int \frac{-1}{1-u^2} du = \int \frac{1}{u^2-1} du = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$

$= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{(\cos x - 1)^2}{\cos^2 x - 1}\right| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{(\cos x - 1)^2}{-\sin^2 x}\right| + C$

$= \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{2} + x + C$

(2) $\frac{1}{9}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + \frac{1}{3(x+1)} + C$

(3) $\frac{1}{8}\ln|x-1| - \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{16}\ln(x^2+3) - \frac{\sqrt{3}}{8} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C$

(4) $\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$