正の数 $x$ が $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の値を求める。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x + \frac{1}{x}$ と $x^4 - \frac{1}{x^4}$

代数学式の計算方程式有理化分数式
2025/7/9

1. 問題の内容

正の数 xxx1x=2x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} を満たすとき、以下の値を求める。
(1) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2}
(2) x+1xx + \frac{1}{x}x41x4x^4 - \frac{1}{x^4}

2. 解き方の手順

(1) x1x=2x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} の両辺を2乗する。
(x1x)2=(2)2(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2
x22x1x+1x2=2x^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2
x22+1x2=2x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2
x2+1x2=4x^2 + \frac{1}{x^2} = 4
(2) (x+1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
x2+1x2=4x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 より、
(x+1x)2=4+2=6(x + \frac{1}{x})^2 = 4 + 2 = 6
x+1x=±6x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{6}
xx は正の数なので、x+1x>0x + \frac{1}{x} > 0。したがって x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}
x41x4x^4 - \frac{1}{x^4} を求める。
x41x4=(x2+1x2)(x21x2)x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2})
=(x2+1x2)(x+1x)(x1x)= (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})
=462= 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}
=412=423=83= 4\sqrt{12} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) x2+1x2=4x^2 + \frac{1}{x^2} = 4
(2) x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}x41x4=83x^4 - \frac{1}{x^4} = 8\sqrt{3}

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