正の数 $x$ が $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の値を求める。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x + \frac{1}{x}$ と $x^4 - \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

正の数 $x$ が $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、以下の値を求める。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x + \frac{1}{x}$ と $x^4 - \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ の両辺を2乗する。

$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ より、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 4 + 2 = 6$

$x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{6}$

$x$ は正の数なので、$x + \frac{1}{x} > 0$。したがって $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$。

$x^4 - \frac{1}{x^4}$ を求める。

$x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2})$

$= (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

$= 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}$

$= 4\sqrt{12} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ 、 $x^4 - \frac{1}{x^4} = 8\sqrt{3}$