$x$ は正の数であり、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。 (2) $x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。また、$x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ は正の数であり、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

(2) $x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。また、$x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ の両辺を2乗すると、

$$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2$$

$$x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 2$$

$$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2$$

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$$

(2)

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるから、(1)の結果を用いて、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 4 + 2 = 6$

$x$ は正の数なので、$x + \frac{1}{x} > 0$ である。したがって、

$$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$$

次に、$x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求める。

$$x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$$

(1), (2) の結果より、

$$x^4 - \frac{1}{x^4} = 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{12} = 4 \cdot 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ , $x^4 - \frac{1}{x^4} = 8\sqrt{3}$