$x$ は正の数であり、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ を満たすとき、 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。 (2) $x + \frac{1}{x}$ の値を求めよ。また、$x^4 - \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

代数学式の計算分数式2次方程式平方根有理化
2025/7/9

1. 問題の内容

xx は正の数であり、x1x=2x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} を満たすとき、
(1) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} の値を求めよ。
(2) x+1xx + \frac{1}{x} の値を求めよ。また、x41x4x^4 - \frac{1}{x^4} の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
x1x=2x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} の両辺を2乗すると、
(x1x)2=(2)2(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2
x22(x)(1x)+1x2=2x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 2
x22+1x2=2x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2
x2+1x2=4x^2 + \frac{1}{x^2} = 4
(2)
(x+1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} であるから、(1)の結果を用いて、
(x+1x)2=4+2=6(x + \frac{1}{x})^2 = 4 + 2 = 6
xx は正の数なので、x+1x>0x + \frac{1}{x} > 0 である。したがって、
x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}
次に、x41x4x^4 - \frac{1}{x^4} の値を求める。
x41x4=(x2+1x2)(x21x2)=(x2+1x2)(x+1x)(x1x)x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})
(1), (2) の結果より、
x41x4=462=412=423=83x^4 - \frac{1}{x^4} = 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{12} = 4 \cdot 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) x2+1x2=4x^2 + \frac{1}{x^2} = 4
(2) x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} , x41x4=83x^4 - \frac{1}{x^4} = 8\sqrt{3}

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