2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$ は定数で、$a \neq 0$ とする。 (1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。 (ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。 (2) $a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。

1. 問題の内容

2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$ は定数で、$a \neq 0$ とする。

(1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。

(ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。

(2) $a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)(i)

グラフGがx軸と接するための必要十分条件は、2次方程式 $a(x-b)(x-c) = 0$ が重解を持つことである。これは、$b = c$ のときである。

したがって、(ア)に入るのは 2 (=)である。

グラフGがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、2次方程式 $a(x-b)(x-c) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことである。これは、$b \neq c$ のときである。したがって、$b < c$ または $b > c$ である。

したがって、(イ)に入るのは 3 (>)である。

(1)(ii)

グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$x=0$ のとき $y > 0$ となることである。

$y = a(0-b)(0-c) = abc$ なので、$abc > 0$ であればよい。

したがって、(ウ)に入るのは 7 ($abc$)である。

(2)

$a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、$y = 2(x-b)(x-c)$ である。

y軸との交点Aのy座標は、

$y = 2(0-b)(0-c) = 2bc = 2(1) = 2$

よって、A(0, 2) である。

x軸との交点B, Cのx座標は、それぞれb, cである。

よって、B(b, 0), C(c, 0) である。

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} |c-b| \times 2 = |c-b| = | \frac{1}{b} - b| = \frac{|1-b^2|}{b} = \frac{1-b^2}{b}$ (なぜなら $0 < b < 1$ より $1-b^2>0$。)

3. 最終的な答え

(1)(i) (ア): 2, (イ): 3

(ii) (ウ): 7

(2) $\frac{1-b^2}{b}$