2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$ は定数で、$a \neq 0$ とする。 (1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。 (ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。 (2) $a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。
2025/7/9
1. 問題の内容
2次関数 のグラフをGとする。ただし、 は定数で、 とする。
(1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。
(ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。
(2) のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。
2. 解き方の手順
(1)(i)
グラフGがx軸と接するための必要十分条件は、2次方程式 が重解を持つことである。これは、 のときである。
したがって、(ア)に入るのは 2 (=)である。
グラフGがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、2次方程式 が異なる2つの実数解を持つことである。これは、 のときである。したがって、 または である。
したがって、(イ)に入るのは 3 (>)である。
(1)(ii)
グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、 のとき となることである。
なので、 であればよい。
したがって、(ウ)に入るのは 7 ()である。
(2)
のとき、 である。
y軸との交点Aのy座標は、
よって、A(0, 2) である。
x軸との交点B, Cのx座標は、それぞれb, cである。
よって、B(b, 0), C(c, 0) である。
三角形ABCの面積は、
(なぜなら より 。)
3. 最終的な答え
(1)(i) (ア): 2, (イ): 3
(ii) (ウ): 7
(2)