2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$ は定数で、$a \neq 0$ とする。 (1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。 (ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。 (2) $a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。

代数学二次関数グラフ方程式面積条件
2025/7/9

1. 問題の内容

2次関数 y=a(xb)(xc)y = a(x-b)(x-c) のグラフをGとする。ただし、a,b,ca, b, c は定数で、a0a \neq 0 とする。
(1)(i) グラフGがx軸と接するための必要十分条件、およびx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。
(ii) グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。
(2) a=2,bc=1,0<b<1a=2, bc=1, 0 < b < 1 のとき、グラフGとy軸の交点をA、グラフGとx軸の交点をB, Cとする。三角形ABCの面積をbを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)(i)
グラフGがx軸と接するための必要十分条件は、2次方程式 a(xb)(xc)=0a(x-b)(x-c) = 0 が重解を持つことである。これは、b=cb = c のときである。
したがって、(ア)に入るのは 2 (=)である。
グラフGがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、2次方程式 a(xb)(xc)=0a(x-b)(x-c) = 0 が異なる2つの実数解を持つことである。これは、bcb \neq c のときである。したがって、b<cb < c または b>cb > c である。
したがって、(イ)に入るのは 3 (>)である。
(1)(ii)
グラフGがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、x=0x=0 のとき y>0y > 0 となることである。
y=a(0b)(0c)=abcy = a(0-b)(0-c) = abc なので、abc>0abc > 0 であればよい。
したがって、(ウ)に入るのは 7 (abcabc)である。
(2)
a=2,bc=1,0<b<1a=2, bc=1, 0 < b < 1 のとき、y=2(xb)(xc)y = 2(x-b)(x-c) である。
y軸との交点Aのy座標は、
y=2(0b)(0c)=2bc=2(1)=2y = 2(0-b)(0-c) = 2bc = 2(1) = 2
よって、A(0, 2) である。
x軸との交点B, Cのx座標は、それぞれb, cである。
よって、B(b, 0), C(c, 0) である。
三角形ABCの面積は、
12cb×2=cb=1bb=1b2b=1b2b\frac{1}{2} |c-b| \times 2 = |c-b| = | \frac{1}{b} - b| = \frac{|1-b^2|}{b} = \frac{1-b^2}{b} (なぜなら 0<b<10 < b < 1 より 1b2>01-b^2>0。)

3. 最終的な答え

(1)(i) (ア): 2, (イ): 3
(ii) (ウ): 7
(2) 1b2b\frac{1-b^2}{b}

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