与えられた斉次連立一次方程式について、行列式の階数 $\rho(A)$ を求め、さらに、$\rho(A)$ 次の部分行列の成分を係数とする変数を他の変数の一次式で表す。 (1) $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ $2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$ $3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$ (2) $x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$ $x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

1. 問題の内容

与えられた斉次連立一次方程式について、行列式の階数 $\rho(A)$ を求め、さらに、$\rho(A)$ 次の部分行列の成分を係数とする変数を他の変数の一次式で表す。

(1)

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$

$2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$

(2)

$x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$

$2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$

$x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

係数行列 $A$ は以下の通り。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

行列 $A$ を簡約化する。

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

次に、2行目を-3で割り、3行目を-2で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

さらに、3行目を $\frac{2}{3}$ で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から3行目を引き、2行目から3行目の $\frac{1}{3}$ 倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

そして、1行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$\rho(A) = 3$ であり、$x_1, x_2, x_4$ は基本変数、$x_3$ は自由変数となる。

$x_1 = -x_3$

$x_2 = -x_3$

$x_4 = 0$

(2)

係数行列 $A$ は以下の通り。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & -5 & 5 \end{pmatrix}$

行列 $A$ を簡約化する。

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

そして、2行目を2で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$\rho(A) = 2$ であり、$x_1, x_2$ は基本変数、$x_3, x_4$ は自由変数となる。

$x_1 = -x_3 - 2x_4$

$x_2 = 2x_3 - x_4$

3. 最終的な答え

(1) $\rho(A) = 3$

$x_1 = -x_3$

$x_2 = -x_3$

$x_4 = 0$

(2) $\rho(A) = 2$

$x_1 = -x_3 - 2x_4$

$x_2 = 2x_3 - x_4$