与えられた斉次連立一次方程式について、行列式の階数 $\rho(A)$ を求め、さらに、$\rho(A)$ 次の部分行列の成分を係数とする変数を他の変数の一次式で表す。 (1) $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ $2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$ $3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$ (2) $x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$ $x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

代数学線形代数連立一次方程式行列階数簡約化
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた斉次連立一次方程式について、行列式の階数 ρ(A)\rho(A) を求め、さらに、ρ(A)\rho(A) 次の部分行列の成分を係数とする変数を他の変数の一次式で表す。
(1)
x1+x2+2x3+x4=0x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0
2x1x2+x3+x4=02x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0
3x1+x2+4x3+x4=03x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0
(2)
x1+x2x3+3x4=0x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0
2x1+2x22x3+6x4=02x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0
x1+3x25x3+5x4=0x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0

2. 解き方の手順

(1)
係数行列 AA は以下の通り。
A=(112121113141)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}
行列 AA を簡約化する。
まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引く。
(112103310222)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}
次に、2行目を-3で割り、3行目を-2で割る。
(1121011130111)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
次に、3行目から2行目を引く。
(11210111300023)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}
さらに、3行目を 23\frac{2}{3} で割る。
(1121011130001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
最後に、1行目から3行目を引き、2行目から3行目の 13\frac{1}{3} 倍を引く。
(112001100001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
そして、1行目から2行目を引く。
(101001100001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
したがって、ρ(A)=3\rho(A) = 3 であり、x1,x2,x4x_1, x_2, x_4 は基本変数、x3x_3 は自由変数となる。
x1=x3x_1 = -x_3
x2=x3x_2 = -x_3
x4=0x_4 = 0
(2)
係数行列 AA は以下の通り。
A=(111322261355)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & -5 & 5 \end{pmatrix}
行列 AA を簡約化する。
まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く。
(111300000242)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}
次に、2行目と3行目を入れ替える。
(111302420000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
そして、2行目を2で割る。
(111301210000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
最後に、1行目から2行目を引く。
(101201210000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
したがって、ρ(A)=2\rho(A) = 2 であり、x1,x2x_1, x_2 は基本変数、x3,x4x_3, x_4 は自由変数となる。
x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4
x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

3. 最終的な答え

(1) ρ(A)=3\rho(A) = 3
x1=x3x_1 = -x_3
x2=x3x_2 = -x_3
x4=0x_4 = 0
(2) ρ(A)=2\rho(A) = 2
x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4
x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

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