多項式$P(x)$が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$は$x-1$で割り切れる。 * $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。 * $P(x)$の全ての項の係数は実数である。 問題は以下の3つの部分から構成されます。 (1) $P(1)$と$P(-2)$の値をそれぞれ求めよ。 (2) $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$が3次の項の係数が1である3次式であり、$P(x)=0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。
2025/7/9
1. 問題の内容
多項式が与えられており、以下の条件を満たします。
* はで割り切れる。
* をで割った余りは9である。
* の全ての項の係数は実数である。
問題は以下の3つの部分から構成されます。
(1) との値をそれぞれ求めよ。
(2) をで割った余りを求めよ。
(3) が3次の項の係数が1である3次式であり、が異なる実数解をちょうど2個持つとき、を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) との値を求める。
* はで割り切れるので、剰余の定理よりである。
* をで割った余りが9なので、剰余の定理よりである。
(2) をで割った余りを求める。
* と因数分解できる。
* をで割った余りをとおくと、
と表せる。
* より、なので、。
* より、なので、。
* これらの連立方程式を解くと、、となる。
* したがって、余りはである。
(3) を求める。
* は3次の項の係数が1である3次式なので、と表せる。
* はで割り切れるので、と書ける。ここで、が重解を持つ場合と、1つの実数解を持つ場合が考えられる。
* が異なる実数解をちょうど2個持つので、が以外の重解を持つ場合と、 と異なるもう一つの実数解を持つ場合が考えられる。
* をで割った余りがより、と書ける。より、。
* が重解を持つ条件は判別式なので、である。このことから、重解を持つことはない。
* が解を持つとすると、より、である。よって、である。
*
3. 最終的な答え
(1) ,
(2)
(3)