多項式$P(x)$が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$は$x-1$で割り切れる。 * $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。 * $P(x)$の全ての項の係数は実数である。 問題は以下の3つの部分から構成されます。 (1) $P(1)$と$P(-2)$の値をそれぞれ求めよ。 (2) $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$が3次の項の係数が1である3次式であり、$P(x)=0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$が与えられており、以下の条件を満たします。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れる。

* $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。

* $P(x)$の全ての項の係数は実数である。

問題は以下の3つの部分から構成されます。

(1) $P(1)$と$P(-2)$の値をそれぞれ求めよ。

(2) $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求めよ。

(3) $P(x)$が3次の項の係数が1である3次式であり、$P(x)=0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$と$P(-2)$の値を求める。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れるので、剰余の定理より$P(1) = 0$である。

* $P(x)$を$x+2$で割った余りが9なので、剰余の定理より$P(-2) = 9$である。

(2) $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求める。

* $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$と因数分解できる。

* $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを$ax+b$とおくと、

$P(x) = (x^2+x-2)Q(x) + ax + b = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$と表せる。

* $P(1) = 0$より、$a(1) + b = 0$なので、$a + b = 0$。

* $P(-2) = 9$より、$a(-2) + b = 9$なので、$-2a + b = 9$。

* これらの連立方程式を解くと、$a = -3$、$b = 3$となる。

* したがって、余りは$-3x + 3$である。

(3) $P(x)$を求める。

* $P(x)$は3次の項の係数が1である3次式なので、$P(x) = x^3 + cx^2 + dx + e$と表せる。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れるので、$P(x) = (x-1)(x^2 + fx + g)$と書ける。ここで、$x^2 + fx + g = 0$が重解を持つ場合と、1つの実数解を持つ場合が考えられる。

* $P(x) = 0$が異なる実数解をちょうど2個持つので、$x^2 + fx + g = 0$が$x=1$以外の重解を持つ場合と、 $x=1$と異なるもう一つの実数解を持つ場合が考えられる。

* $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りが$-3x+3 = -3(x-1)$より、$P(x) = (x^2+x-2)(x+h) -3(x-1)$と書ける。$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$より、$P(x)=(x-1)(x+2)(x+h) - 3(x-1) = (x-1)((x+2)(x+h)-3)$。

* $(x+2)(x+h)-3 = x^2+(h+2)x + 2h-3=0$が重解を持つ条件は判別式$D=0$なので、$D = (h+2)^2 - 4(2h-3)=h^2+4h+4-8h+12 = h^2-4h+16 = (h-2)^2+12>0$である。このことから、重解を持つことはない。

* $(x+2)(x+h)-3=0$が解$1$を持つとすると、$1+2+h-3=0$より、$h=0$である。よって、$P(x) = (x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)(x-1)(x+3) = (x-1)^2(x+3)$である。

* $P(x) = (x-1)^2 (x+3) = (x^2 - 2x + 1)(x+3) = x^3 - 2x^2 + x + 3x^2 - 6x + 3 = x^3 + x^2 - 5x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = 0$, $P(-2) = 9$

(2) $-3x + 3$

(3) $P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$