多項式$P(x)$が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$は$x-1$で割り切れる。 * $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。 * $P(x)$の全ての項の係数は実数である。 問題は以下の3つの部分から構成されます。 (1) $P(1)$と$P(-2)$の値をそれぞれ求めよ。 (2) $P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$が3次の項の係数が1である3次式であり、$P(x)=0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。

代数学多項式剰余の定理因数分解3次方程式実数解
2025/7/9

1. 問題の内容

多項式P(x)P(x)が与えられており、以下の条件を満たします。
* P(x)P(x)x1x-1で割り切れる。
* P(x)P(x)x+2x+2で割った余りは9である。
* P(x)P(x)の全ての項の係数は実数である。
問題は以下の3つの部分から構成されます。
(1) P(1)P(1)P(2)P(-2)の値をそれぞれ求めよ。
(2) P(x)P(x)x2+x2x^2+x-2で割った余りを求めよ。
(3) P(x)P(x)が3次の項の係数が1である3次式であり、P(x)=0P(x)=0が異なる実数解をちょうど2個持つとき、P(x)P(x)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) P(1)P(1)P(2)P(-2)の値を求める。
* P(x)P(x)x1x-1で割り切れるので、剰余の定理よりP(1)=0P(1) = 0である。
* P(x)P(x)x+2x+2で割った余りが9なので、剰余の定理よりP(2)=9P(-2) = 9である。
(2) P(x)P(x)x2+x2x^2+x-2で割った余りを求める。
* x2+x2=(x1)(x+2)x^2+x-2 = (x-1)(x+2)と因数分解できる。
* P(x)P(x)x2+x2x^2+x-2で割った余りをax+bax+bとおくと、
P(x)=(x2+x2)Q(x)+ax+b=(x1)(x+2)Q(x)+ax+bP(x) = (x^2+x-2)Q(x) + ax + b = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + bと表せる。
* P(1)=0P(1) = 0より、a(1)+b=0a(1) + b = 0なので、a+b=0a + b = 0
* P(2)=9P(-2) = 9より、a(2)+b=9a(-2) + b = 9なので、2a+b=9-2a + b = 9
* これらの連立方程式を解くと、a=3a = -3b=3b = 3となる。
* したがって、余りは3x+3-3x + 3である。
(3) P(x)P(x)を求める。
* P(x)P(x)は3次の項の係数が1である3次式なので、P(x)=x3+cx2+dx+eP(x) = x^3 + cx^2 + dx + eと表せる。
* P(x)P(x)x1x-1で割り切れるので、P(x)=(x1)(x2+fx+g)P(x) = (x-1)(x^2 + fx + g)と書ける。ここで、x2+fx+g=0x^2 + fx + g = 0が重解を持つ場合と、1つの実数解を持つ場合が考えられる。
* P(x)=0P(x) = 0が異なる実数解をちょうど2個持つので、x2+fx+g=0x^2 + fx + g = 0x=1x=1以外の重解を持つ場合と、 x=1x=1と異なるもう一つの実数解を持つ場合が考えられる。
* P(x)P(x)x2+x2x^2+x-2で割った余りが3x+3=3(x1)-3x+3 = -3(x-1)より、P(x)=(x2+x2)(x+h)3(x1)P(x) = (x^2+x-2)(x+h) -3(x-1)と書ける。x2+x2=(x1)(x+2)x^2+x-2 = (x-1)(x+2)より、P(x)=(x1)(x+2)(x+h)3(x1)=(x1)((x+2)(x+h)3)P(x)=(x-1)(x+2)(x+h) - 3(x-1) = (x-1)((x+2)(x+h)-3)
* (x+2)(x+h)3=x2+(h+2)x+2h3=0(x+2)(x+h)-3 = x^2+(h+2)x + 2h-3=0が重解を持つ条件は判別式D=0D=0なので、D=(h+2)24(2h3)=h2+4h+48h+12=h24h+16=(h2)2+12>0D = (h+2)^2 - 4(2h-3)=h^2+4h+4-8h+12 = h^2-4h+16 = (h-2)^2+12>0である。このことから、重解を持つことはない。
* (x+2)(x+h)3=0(x+2)(x+h)-3=0が解11を持つとすると、1+2+h3=01+2+h-3=0より、h=0h=0である。よって、P(x)=(x1)(x2+2x3)=(x1)(x1)(x+3)=(x1)2(x+3)P(x) = (x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)(x-1)(x+3) = (x-1)^2(x+3)である。
* P(x)=(x1)2(x+3)=(x22x+1)(x+3)=x32x2+x+3x26x+3=x3+x25x+3P(x) = (x-1)^2 (x+3) = (x^2 - 2x + 1)(x+3) = x^3 - 2x^2 + x + 3x^2 - 6x + 3 = x^3 + x^2 - 5x + 3

3. 最終的な答え

(1) P(1)=0P(1) = 0, P(2)=9P(-2) = 9
(2) 3x+3-3x + 3
(3) P(x)=x3+x25x+3P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3

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