(1) すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような $k$ の範囲を求める。 (2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 3x + 4 < kx$ が成り立つような $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) すべての実数 $x$ に対して、不等式 $kx^2 - kx + 2 > 0$ が成り立つような $k$ の範囲を求める。

(2) ある実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 3x + 4 < kx$ が成り立つような $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$kx^2 - kx + 2 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を考えます。

* $k=0$ のとき、$2>0$となり、これは常に成立します。

* $k \neq 0$ のとき、二次関数 $f(x) = kx^2 - kx + 2$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。これは、$k>0$ かつ判別式 $D < 0$ であることと同値です。

判別式 $D = (-k)^2 - 4(k)(2) = k^2 - 8k < 0$ を解くと、$k(k-8) < 0$ より $0 < k < 8$ が得られます。$k=0$の場合も含むので、$0 \leq k < 8$です。

(2)

$x^2 - 3x + 4 < kx$ を整理すると、$x^2 - (3+k)x + 4 < 0$ となります。

$g(x) = x^2 - (3+k)x + 4$ とおくと、ある実数 $x$ に対して $g(x) < 0$ が成り立つということは、二次関数 $g(x)$ のグラフが $x$ 軸と少なくとも1点で交わる（または接する）ということです。つまり、判別式 $D \geq 0$ である必要があります。

判別式 $D = (3+k)^2 - 4(1)(4) = (3+k)^2 - 16 \geq 0$ を解きます。

$(3+k)^2 \geq 16$ より、 $3+k \geq 4$ または $3+k \leq -4$ となります。

$k \geq 1$ または $k \leq -7$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq k < 8$

(2) $k \leq -7$ または $k \geq 1$