実数 $x$ について、命題「$x^2 \neq -x \implies x \neq -1$」の逆、対偶、裏を述べ、それぞれの真偽を調べる。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、命題「$x^2 \neq -x \implies x \neq -1$」の逆、対偶、裏を述べ、それぞれの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \implies Q$ とおく。ここで、$P$ は $x^2 \neq -x$ であり、$Q$ は $x \neq -1$ である。

* **逆**：$Q \implies P$ つまり、$x \neq -1 \implies x^2 \neq -x$

* **対偶**：$\neg Q \implies \neg P$ つまり、$x = -1 \implies x^2 = -x$

* **裏**：$\neg P \implies \neg Q$ つまり、$x^2 = -x \implies x = -1$

それぞれの真偽を調べる。

* **逆**：$x \neq -1 \implies x^2 \neq -x$

$x = 0$ のとき、$x \neq -1$ であるが、$x^2 = 0$ であり、$-x = 0$ であるから、$x^2 = -x$ となる。したがって、反例が存在するので、偽である。

* **対偶**：$x = -1 \implies x^2 = -x$

$x = -1$ のとき、$x^2 = (-1)^2 = 1$ であり、$-x = -(-1) = 1$ であるから、$x^2 = -x$ が成り立つ。したがって、真である。

* **裏**：$x^2 = -x \implies x = -1$

$x^2 = -x$ を変形すると、$x^2 + x = 0$ つまり、$x(x+1) = 0$ となる。したがって、$x = 0$ または $x = -1$ である。$x=0$のとき、$x^2 = -x$を満たすが、$x=-1$ではない。したがって、$x = 0$は反例なので、偽である。

3. 最終的な答え

* 逆：$x \neq -1 \implies x^2 \neq -x$ (偽)

* 対偶：$x = -1 \implies x^2 = -x$ (真)

* 裏：$x^2 = -x \implies x = -1$ (偽)