2次関数 $f(x) = -x^2 + (a-3)x + 2a - 3$ について、2次方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持ち、それらの解がともに1より小さくなるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

## 問題5

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + (a-3)x + 2a - 3$ について、2次方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持ち、それらの解がともに1より小さくなるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

$f(x) = 0$ つまり $-x^2 + (a-3)x + 2a - 3 = 0$ を解きます。この方程式に判別式、軸、そして $f(1)$ の値を考慮して解の条件を満たす $a$ の範囲を求めます。

まず、方程式を $x^2 - (a-3)x - (2a - 3) = 0$ と変形します。

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件：判別式 $D > 0$

$D = (a-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a-3))$

$D = (a-3)^2 + 4(2a-3)$

$D = a^2 - 6a + 9 + 8a - 12$

$D = a^2 + 2a - 3$

$D = (a+3)(a-1) > 0$

よって、$a < -3$ または $a > 1$

(2) 2つの解がともに1より小さい条件：

* 軸 $x = \frac{a-3}{2} < 1$

$a-3 < 2$

$a < 5$

* $f(1) < 0$

$f(1) = -1^2 + (a-3)(1) + 2a - 3 < 0$

$-1 + a - 3 + 2a - 3 < 0$

$3a - 7 < 0$

$a < \frac{7}{3}$

(3) (1) と (2) の共通範囲を求めます。

$a < -3$ または $a > 1$ かつ $a < 5$ かつ $a < \frac{7}{3}$

よって、$a < -3$ または $1 < a < \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$a < -3$ または $1 < a < \frac{7}{3}$