放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、指定された方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める問題です。 (1) $y$軸方向への平行移動 (2) $x$軸方向への平行移動

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、指定された方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める問題です。

(1) $y$軸方向への平行移動

(2) $x$軸方向への平行移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動の場合

$y$軸方向に $k$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 + k$ となります。

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$, $y = 0$ を代入したときに式が成り立つ必要があります。

したがって、

$0 = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 + k$

$0 = 3 + k$

$k = -3$

よって、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すればよいので、求める放物線の方程式は、

$y = x^2 - 4x + 3 - 3$

$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動の場合

$x$軸方向に $m$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = (x - m)^2 - 4(x - m) + 3$ となります。

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$, $y = 0$ を代入したときに式が成り立つ必要があります。

したがって、

$0 = (0 - m)^2 - 4(0 - m) + 3$

$0 = m^2 + 4m + 3$

$0 = (m + 1)(m + 3)$

$m = -1, -3$

$m = -1$ のとき、$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x$

$m = -3$ のとき、$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x$

よって、求める放物線の方程式は、$y = x^2 - 2x$ または $y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y$軸方向への平行移動の場合: $y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動の場合: $y = x^2 - 2x$ または $y = x^2 + 2x$