与えられた行列式を因数分解する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式を因数分解する問題です。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算しやすくするために、行の基本変形を行います。具体的には、2行目から1行目を、3行目から1行目を、4行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\ 0 & b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\ 0 & c-1 & c^2-1 & c^3-1 \end{vmatrix}$

次に、1列目に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\ b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\ c-1 & c^2-1 & c^3-1 \end{vmatrix}$

各列から、$a-1, b-1, c-1$ をそれぞれ因数としてくくりだすことができます。$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$, $a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a + 1)$ となることを利用します。

$(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix} 1 & a+1 & a^2+a+1 \\ 1 & b+1 & b^2+b+1 \\ 1 & c+1 & c^2+c+1 \end{vmatrix}$

次に、2行目から1行目を、3行目から1行目を引きます。

$(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix} 1 & a+1 & a^2+a+1 \\ 0 & b-a & b^2+b-a^2-a \\ 0 & c-a & c^2+c-a^2-a \end{vmatrix}$

さらに、$b^2+b-a^2-a = (b-a)(b+a+1)$、$c^2+c-a^2-a = (c-a)(c+a+1)$ を利用して、2列目から$b-a, c-a$ をそれぞれ因数としてくくりだします。

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & a+1 & a^2+a+1 \\ 0 & 1 & b+a+1 \\ 0 & 1 & c+a+1 \end{vmatrix}$

再度余因子展開すると、

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b+a+1 \\ 1 & c+a+1 \end{vmatrix}$

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c+a+1 - b - a - 1)$

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

したがって、与えられた行列式は $(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$