画像に写っている5つの数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像に写っている5つの数学の問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 1個160円のりんごと1個130円のみかんを合わせて20個買い、200円のかごに入れて合計金額を3000円以下にしたい。りんごをできるだけ多く買うとき、りんごは何個買えるか？

りんごの個数を $x$ とすると、みかんの個数は $20-x$ 個となる。合計金額は、

$160x + 130(20-x) + 200 \le 3000$

$160x + 2600 - 130x + 200 \le 3000$

$30x + 2800 \le 3000$

$30x \le 200$

$x \le \frac{200}{30} = \frac{20}{3} = 6.66...$

りんごの個数は整数なので、最大で6個買える。

(2) 次の方程式、不等式を解く。

(a) $|x-2|=1$

$x-2 = 1$ または $x-2 = -1$

$x = 3$ または $x = 1$

(b) $|4x-5|>3$

$4x-5 > 3$ または $4x-5 < -3$

$4x > 8$ または $4x < 2$

$x > 2$ または $x < \frac{1}{2}$

(3) $x, y$ は実数、$n$ は整数とする。次の命題の真偽を調べ、偽の場合は反例をあげる。

(a) $x < y \implies x^2 < y^2$

偽。反例: $x = -2, y = 1$ のとき、$x < y$ だが、$x^2 = 4, y^2 = 1$ なので、$x^2 > y^2$ となる。

(b) $n$ は4の倍数 $\implies$ $n(n+2)$ は8の倍数

真。$n = 4k$ とすると、$n(n+2) = 4k(4k+2) = 16k^2 + 8k = 8(2k^2 + k)$ となり、8の倍数である。

(4) 次の空欄に適するものを、下の選択肢から選んで番号で答える。ただし、$x, y$ は実数とする。

(a) $xy > 0$ は $x^2 + y^2 > 0$ であるための \_\_\_。

$xy>0 \implies x^2+y^2>0$ は真。

$x^2+y^2>0 \implies xy>0$ は偽。反例：$x=1, y=-1$ のとき、$x^2+y^2=2>0$ だが、$xy=-1<0$。

したがって、十分条件であるが必要条件ではない。答え: 2

(b) $|x-2|=1$ は $x^2-4x+3=0$ であるための \_\_\_。

$|x-2|=1 \implies x=1,3$

$x^2-4x+3=0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1,3$

したがって、必要十分条件である。答え: 3

(c) $\triangle ABC$ と $\triangle PQR$ の面積が等しいことは、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための \_\_\_。

面積が等しいことは合同であるための必要条件でも十分条件でもない。答え: 4

(5) 次の条件の否定を述べる。ただし、$x, y$ は実数とする。

(a) $x \ge y$

$x < y$

(b) $x \ge 2$ または $x < -3$

$2 > x \ge -3$

(c) $x, y$ の少なくとも一方は 0

$x$ も $y$ も 0 でない

3. 最終的な答え

(1) 6個

(2) (a) $x=1,3$ (b) $x>2$ または $x<\frac{1}{2}$

(3) (a) 偽. 反例: $x=-2, y=1$ (b) 真

(4) (a) 2 (b) 3 (c) 4

(5) (a) $x < y$ (b) $2 > x \ge -3$ (c) $x$ も $y$ も 0 でない