(1) 方程式 $|x-3| - 2x = -1$ を解く。 (2) 不等式 $|x-2| + |x-5| \le 5$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $|x-3| - 2x = -1$ を解く。

(2) 不等式 $|x-2| + |x-5| \le 5$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| - 2x = -1$

絶対値記号を外すために場合分けをする。

(i) $x \ge 3$ のとき、 $|x-3| = x-3$ であるから、

$x-3 - 2x = -1$

$-x = 2$

$x = -2$

これは $x \ge 3$ を満たさないので不適。

(ii) $x < 3$ のとき、 $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ であるから、

$-x+3 - 2x = -1$

$-3x = -4$

$x = \frac{4}{3}$

これは $x < 3$ を満たすので適する。

(2) $|x-2| + |x-5| \le 5$

絶対値記号を外すために場合分けをする。

(i) $x < 2$ のとき、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ であるから、

$-x+2 -x+5 \le 5$

$-2x+7 \le 5$

$-2x \le -2$

$x \ge 1$

よって $1 \le x < 2$

(ii) $2 \le x < 5$ のとき、 $|x-2| = x-2$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ であるから、

$x-2 -x+5 \le 5$

$3 \le 5$

これは常に成り立つので、$2 \le x < 5$ が解となる。

(iii) $x \ge 5$ のとき、 $|x-2| = x-2$ かつ $|x-5| = x-5$ であるから、

$x-2 + x-5 \le 5$

$2x - 7 \le 5$

$2x \le 12$

$x \le 6$

よって $5 \le x \le 6$

(i), (ii), (iii) を合わせると、$1 \le x \le 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4}{3}$

(2) $1 \le x \le 6$