正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は、$A$ の固有値がすべて $0$ でないことを示す問題です。

1. 問題の内容

正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は、$A$ の固有値がすべて $0$ でないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

必要十分条件なので、以下の2つの方向を示す必要があります。

(i) $A$ が正則 $\Longrightarrow$ $A$ の固有値はすべて $0$ でない。

(ii) $A$ の固有値はすべて $0$ でない $\Longrightarrow$ $A$ が正則。

(i) $A$ が正則であると仮定します。このとき、$A$ は逆行列 $A^{-1}$ を持ちます。

もし、$A$ が固有値 $\lambda = 0$ を持つとすると、あるベクトル $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ が存在して、$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} = 0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ となります。

もし $A^{-1}$ が存在すれば、$A^{-1}A\mathbf{v} = A^{-1}\mathbf{0}$。つまり $I\mathbf{v} = \mathbf{v} = \mathbf{0}$となり、これは $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ に矛盾します。

したがって、$A$ が正則ならば、$A$ の固有値はすべて $0$ でないことが示されました。

(ii) $A$ の固有値がすべて $0$ でないと仮定します。つまり、$A$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ とすると、すべての $i$ に対して $\lambda_i \neq 0$ です。

行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ は、その固有値の積に等しいことが知られています。

つまり、

$\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n$

すべての $\lambda_i \neq 0$ であるから、$\det(A) \neq 0$ となります。

行列式が $0$ でない行列は正則であるため、$A$ は正則となります。

3. 最終的な答え

正方行列 $A$ が正則である必要十分条件は、$A$ の固有値がすべて $0$ でないことです。