与えられた絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x$ の範囲によって方程式を整理し、解を求める。 (2) 方程式の解を $\alpha, \beta (\alpha > \beta)$ とするとき、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x$ の範囲によって方程式を整理し、解を求める。

(2) 方程式の解を $\alpha, \beta (\alpha > \beta)$ とするとき、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の範囲で場合分けして方程式を整理する。

(i) $x < 1$ のとき、$|x-1| = 1-x, |x-3| = 3-x$ なので、

$x^2 + 3(1-x) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3 - 3x + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 8x + 3 = 0$

(ii) $1 \le x < 3$ のとき、$|x-1| = x-1, |x-3| = 3-x$ なので、

$x^2 + 3(x-1) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

(iii) $3 \le x$ のとき、$|x-1| = x-1, |x-3| = x-3$ なので、

$x^2 + 3(x-1) + 5(x-3) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 5x - 15 - 15 = 0$

$x^2 + 8x - 33 = 0$

それぞれの方程式を解く。

(i) $x^2 - 8x + 3 = 0$ の解は、$x = \frac{8 \pm \sqrt{64-12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = 4 \pm \sqrt{13}$

$x < 1$ より、$x = 4 - \sqrt{13}$。$\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$ より、$3 < \sqrt{13} < 4$。よって、$0 < 4 - \sqrt{13} < 1$ なので、$x = 4 - \sqrt{13}$ は条件を満たす。

(ii) $x^2 - 2x - 3 = 0$ の解は、$(x-3)(x+1) = 0$ より $x = 3, -1$

$1 \le x < 3$ より、解なし。

(iii) $x^2 + 8x - 33 = 0$ の解は、$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64+132}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-8 \pm 14}{2} = 3, -11$

$3 \le x$ より、$x = 3$ は条件を満たす。

したがって、方程式の解は $x = 4 - \sqrt{13}, 3$

(2) $\alpha = 3, \beta = 4 - \sqrt{13}$ より、$|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{3}{4 - \sqrt{13}} = \frac{3(4 + \sqrt{13})}{(4 - \sqrt{13})(4 + \sqrt{13})} = \frac{3(4 + \sqrt{13})}{16 - 13} = \frac{3(4 + \sqrt{13})}{3} = 4 + \sqrt{13}$

$3 < \sqrt{13} < 4$ より、$7 < 4 + \sqrt{13} < 8$ なので、$m \le 4 + \sqrt{13} < m+1$ を満たす自然数 $m$ は $7$。

3. 最終的な答え

(1) ア: 8, イ: 3, ウ: 2, エ: 3, オ: 8, カキ: 33, ク: 4, ケコ: 13, サ: 3

(2) シ: 7