問題は2つの部分から構成されています。 (1) 不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。 (2) $a > 0$ のとき、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ が5個であるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

(2) $a > 0$ のとき、不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数 $x$ が5個であるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|x - \frac{1}{3}| < \frac{13}{3}$ を解きます。

絶対値記号を外すと、

$-\frac{13}{3} < x - \frac{1}{3} < \frac{13}{3}$

各辺に $\frac{1}{3}$ を加えると、

$-\frac{13}{3} + \frac{1}{3} < x < \frac{13}{3} + \frac{1}{3}$

$-\frac{12}{3} < x < \frac{14}{3}$

$-4 < x < \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

この範囲の整数 $x$ は、$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ の8個です。

(2) 不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を解きます。

絶対値記号を外すと、

$-a < x - \frac{1}{3} < a$

各辺に $\frac{1}{3}$ を加えると、

$-a + \frac{1}{3} < x < a + \frac{1}{3}$

この範囲に含まれる整数 $x$ が5個であるためには、

$a > 0$ であることに注意して、次のように考える必要があります。

整数 $x$ が5個となるのは、$x=n, n+1, n+2, n+3, n+4$ のような連続する5つの整数であるときです。

したがって、$a + \frac{1}{3} - (-a + \frac{1}{3}) = 2a$ が整数5個分の幅より大きく、整数6個分の幅より小さい必要があります。

$5 \le 2a < 6$

$\frac{5}{2} \le a < 3$

不等式 $|x - \frac{1}{3}| < a$ を満たす整数が5個であるということは、$x$ はある整数 $n$ から $n+4$ までの5個の整数を取るということです。

つまり、$n \le x \le n+4$ です。この範囲が $-a + \frac{1}{3} < x < a + \frac{1}{3}$ に含まれる必要があります。

$-a + \frac{1}{3} < n$ かつ $n+4 < a + \frac{1}{3}$

$n+4 - (-a+\frac{1}{3}) = (n+4) - n =5 < 2a$, $2a \ge 5$

$a + \frac{1}{3} - (n+4) < 1$ という条件と

$n - (-a + \frac{1}{3})<1$ という条件から、$5 \le 2a < 6$ を求めることができます。

$\frac{5}{2} \le a < 3$

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) $\frac{5}{2} \le a < 3$