問題は、3つの点 $(-1, 1), (1, -5), (3, 5)$ を通る二次関数を求めることです。

代数学二次関数連立方程式代入方程式
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は、3つの点 (1,1),(1,5),(3,5)(-1, 1), (1, -5), (3, 5) を通る二次関数を求めることです。

2. 解き方の手順

二次関数を y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c とおきます。3つの点の座標を代入して、連立方程式を立てます。
(1,1)(-1, 1) を代入すると:
1=a(1)2+b(1)+c1 = a(-1)^2 + b(-1) + c
ab+c=1a - b + c = 1 ...(1)
(1,5)(1, -5) を代入すると:
5=a(1)2+b(1)+c-5 = a(1)^2 + b(1) + c
a+b+c=5a + b + c = -5 ...(2)
(3,5)(3, 5) を代入すると:
5=a(3)2+b(3)+c5 = a(3)^2 + b(3) + c
9a+3b+c=59a + 3b + c = 5 ...(3)
(1), (2), (3) の連立方程式を解きます。
(2) - (1) より:
(a+b+c)(ab+c)=51(a+b+c) - (a-b+c) = -5 - 1
2b=62b = -6
b=3b = -3
(1) に b=3b = -3 を代入すると:
a(3)+c=1a - (-3) + c = 1
a+3+c=1a + 3 + c = 1
a+c=2a + c = -2 ...(4)
(3) に b=3b = -3 を代入すると:
9a+3(3)+c=59a + 3(-3) + c = 5
9a9+c=59a - 9 + c = 5
9a+c=149a + c = 14 ...(5)
(5) - (4) より:
(9a+c)(a+c)=14(2)(9a + c) - (a + c) = 14 - (-2)
8a=168a = 16
a=2a = 2
(4) に a=2a = 2 を代入すると:
2+c=22 + c = -2
c=4c = -4
したがって、a=2,b=3,c=4a = 2, b = -3, c = -4 となります。
求める二次関数は y=2x23x4y = 2x^2 - 3x - 4 です。

3. 最終的な答え

y=2x23x4y = 2x^2 - 3x - 4

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