2次関数のグラフが3点$(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(1, 1)$を通るとき、その2次関数を求める。

代数学二次関数グラフ方程式連立方程式
2025/7/9

1. 問題の内容

2次関数のグラフが3点(1,0)(-1, 0), (2,0)(2, 0), (1,1)(1, 1)を通るとき、その2次関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、求める2次関数をy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cとおく。
与えられた3点の座標をそれぞれ代入する。
(1,0)(-1, 0)を通るので、
a(1)2+b(1)+c=0a(-1)^2 + b(-1) + c = 0
ab+c=0a - b + c = 0 ...(1)
(2,0)(2, 0)を通るので、
a(2)2+b(2)+c=0a(2)^2 + b(2) + c = 0
4a+2b+c=04a + 2b + c = 0 ...(2)
(1,1)(1, 1)を通るので、
a(1)2+b(1)+c=1a(1)^2 + b(1) + c = 1
a+b+c=1a + b + c = 1 ...(3)
(1), (2), (3)の3つの式からa,b,ca, b, cを求める。
(3)-(1)より、
(a+b+c)(ab+c)=10(a+b+c) - (a-b+c) = 1 - 0
2b=12b = 1
b=12b = \frac{1}{2}
(2)-(1)より、
(4a+2b+c)(ab+c)=00(4a+2b+c) - (a-b+c) = 0 - 0
3a+3b=03a + 3b = 0
a+b=0a + b = 0
a=b=12a = -b = -\frac{1}{2}
(1)に代入して、
1212+c=0-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + c = 0
1+c=0-1 + c = 0
c=1c = 1
したがって、a=12a = -\frac{1}{2}, b=12b = \frac{1}{2}, c=1c = 1
よって求める2次関数は
y=12x2+12x+1y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1

3. 最終的な答え

y=12x2+12x+1y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1

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