赤、青、黄の札がそれぞれ4枚ずつあり、各色の札には1から4までの番号が1つずつ書かれている。この12枚の札から無作為に3枚取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 3枚とも同じ色になる確率 (2) 3枚の札の番号が全て異なる確率 (3) 3枚の札の色も番号も全て異なる確率

1. 問題の内容

赤、青、黄の札がそれぞれ4枚ずつあり、各色の札には1から4までの番号が1つずつ書かれている。この12枚の札から無作為に3枚取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 3枚とも同じ色になる確率

(2) 3枚の札の番号が全て異なる確率

(3) 3枚の札の色も番号も全て異なる確率

2. 解き方の手順

(1) 3枚とも同じ色になる確率

まず、3枚とも赤、青、黄のいずれかになるので、それぞれの場合の数を計算し、合計する。

赤の場合：${}_4C_3 = 4$通り

青の場合：${}_4C_3 = 4$通り

黄の場合：${}_4C_3 = 4$通り

合計：$4 + 4 + 4 = 12$通り

全体の組み合わせ数：${}_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$通り

確率は $\frac{12}{220} = \frac{3}{55}$

(2) 3枚の札の番号が全て異なる確率

1枚目の番号は何でも良い。

2枚目の番号は、1枚目と異なる番号である必要がある。

3枚目の番号は、1枚目と2枚目と異なる番号である必要がある。

1枚目の選び方：12通り

2枚目の選び方：同じ番号の札が3枚あるので、12 - 3 = 9通り

3枚目の選び方：すでに2つの番号が出ているので、それぞれの番号の札が3枚ずつある。よって12 - 3*2 = 6通り。

組み合わせ数： $12 \times 9 \times 6$

ただし、この計算だと順番を考慮している。3枚の選び方に順番は関係ないので、3! = 6で割る必要がある。

番号が異なる組み合わせ数：$\frac{12 \times 9 \times 6}{3!} = \frac{12 \times 9 \times 6}{6} = 108$

全体の組み合わせ数：${}_{12}C_3 = 220$

確率は $\frac{108}{220} = \frac{27}{55}$

(3) 3枚の札の色も番号も全て異なる確率

まず、1枚目の札の選び方は12通り。

2枚目の札は、1枚目と色も番号も異ならなければならない。

1枚目の札と同じ番号の札は3枚ある。また、同じ色の札も3枚ある。

したがって、2枚目の札の選び方は、12 - 1 - 3 - 3 = 5枚しか無いように思えるが、ダブって引いている。

1枚目と色が違う選び方は8通り。

1枚目と番号が違う選び方は9通り。

色が同じで番号が同じカードは存在しないので、

2枚目の選び方は12 - 1 - 3 - 3 + 1 = 6

3枚目の札は、1枚目、2枚目と色も番号も異ならなければならない。

1枚目の選び方：12通り

2枚目の選び方：1枚目と色も番号も異なるように選ぶ。色の選び方が2通り、番号の選び方が3通りで、2*3 = 6通り。

3枚目の選び方：1枚目、2枚目と色も番号も異なるように選ぶ。

1枚目を固定したとき、残りの8枚のうち2枚を選べば良い。

${}_2C_1 * {}_2C_1 * {}_2C_1 = 8$

取り出す順番は関係ないので、3! = 6で割る

全部異なる選び方 = 8個。

組み合わせ数は8個で

8/220=2/55

別の考え方

まず、3枚の色を選ぶ組み合わせは、赤、青、黄なので1通り。

次に、3枚の番号を選ぶ組み合わせは、1,2,3,4から3つ選ぶので ${}_4C_3 = 4$通り。

選んだ3つの番号を、赤、青、黄に割り振る方法は3! = 6通り。

よって、組み合わせは $4 \times 6 = 24$通り。

確率は $\frac{8}{220} = \frac{2}{55}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{55}$

(2) $\frac{27}{55}$

(3) $\frac{2}{55}$