15本のくじの中に何本か当たりくじが入っている。この中から同時に2本引いたとき、1本が当たり、1本が外れる確率が$\frac{12}{35}$である。当たりくじは何本入っているか。

1. 問題の内容

15本のくじの中に何本か当たりくじが入っている。この中から同時に2本引いたとき、1本が当たり、1本が外れる確率が$\frac{12}{35}$である。当たりくじは何本入っているか。

2. 解き方の手順

当たりくじの本数を $x$ とすると、外れくじの本数は $15 - x$ となる。

2本引くとき、1本が当たりで1本が外れる確率は、

$\frac{x \times (15-x)}{_{15}C_2}$で表される。

ここで、$_{15}C_2$は15本から2本を選ぶ組み合わせの数であり、

$_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$である。

したがって、確率は

$\frac{x(15-x)}{105} = \frac{12}{35}$となる。

これを解くと、

$x(15-x) = 105 \times \frac{12}{35}$

$x(15-x) = 3 \times 12$

$15x - x^2 = 36$

$x^2 - 15x + 36 = 0$

$(x-3)(x-12) = 0$

$x = 3$ または $x = 12$

3. 最終的な答え

当たりくじは3本または12本入っている。