袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入っている。 (ア) この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、2つの異なる色の玉を2つずつ取り出す確率を求める。 (イ) この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる青玉の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入っている。

(ア) この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、2つの異なる色の玉を2つずつ取り出す確率を求める。

(イ) この袋から同時に4個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる青玉の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、4個の玉を取り出す全ての場合の数を計算する。これは、12個の玉から4個を選ぶ組み合わせなので、

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$通り

次に、2つの異なる色の玉を2つずつ取り出す場合を考える。組み合わせは、(赤、白)、(赤、青)、(白、青)の3パターンある。

(i) 赤玉2個、白玉2個の場合:

$_{3}C_2 \times _{4}C_2 = 3 \times 6 = 18$通り

(ii) 赤玉2個、青玉2個の場合:

$_{3}C_2 \times _{5}C_2 = 3 \times 10 = 30$通り

(iii) 白玉2個、青玉2個の場合:

$_{4}C_2 \times _{5}C_2 = 6 \times 10 = 60$通り

これらの場合を合計すると、$18 + 30 + 60 = 108$通り

したがって、求める確率は、

$\frac{108}{495} = \frac{36}{165} = \frac{12}{55}$

(イ)

青玉の個数の期待値を求める。

4個の玉を取り出すとき、青玉が0個、1個、2個、3個、4個である確率をそれぞれ求め、それらを元に期待値を計算する。

まず、$i$個の青玉を取り出す確率は、残りの$4-i$個を赤玉と白玉の合計7個から選ぶ確率と考えることができる。

$P(X=i) = \frac{_5C_i \times _7C_{4-i}}{_{12}C_4}$

$P(X=0) = \frac{_5C_0 \times _7C_4}{_{12}C_4} = \frac{1 \times 35}{495} = \frac{35}{495}$

$P(X=1) = \frac{_5C_1 \times _7C_3}{_{12}C_4} = \frac{5 \times 35}{495} = \frac{175}{495}$

$P(X=2) = \frac{_5C_2 \times _7C_2}{_{12}C_4} = \frac{10 \times 21}{495} = \frac{210}{495}$

$P(X=3) = \frac{_5C_3 \times _7C_1}{_{12}C_4} = \frac{10 \times 7}{495} = \frac{70}{495}$

$P(X=4) = \frac{_5C_4 \times _7C_0}{_{12}C_4} = \frac{5 \times 1}{495} = \frac{5}{495}$

期待値 $E(X) = \sum_{i=0}^4 i \times P(X=i)$

$E(X) = 0 \times \frac{35}{495} + 1 \times \frac{175}{495} + 2 \times \frac{210}{495} + 3 \times \frac{70}{495} + 4 \times \frac{5}{495}$

$E(X) = \frac{0 + 175 + 420 + 210 + 20}{495} = \frac{825}{495} = \frac{5 \times 165}{3 \times 165} = \frac{5}{3}$

または、期待値は$4 \times \frac{5}{12} = \frac{5}{3}$でも求まる

3. 最終的な答え

ア: $\frac{12}{55}$

イ: $\frac{5}{3}$