与えられた指数不等式を解きます。具体的には以下の2つの不等式です。 (2) $4 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0$ (4) $\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0$

代数学指数不等式不等式指数関数二次不等式変数変換
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた指数不等式を解きます。具体的には以下の2つの不等式です。
(2) 44x+72x2<04 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0
(4) 4(2x)292x+20\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0

2. 解き方の手順

(2) の不等式を解きます。
44x+72x2<04 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0
4(2x)2+72x2<04 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 2 < 0
2x=t2^x = t とおくと、t>0t > 0 である。
4t2+7t2<04t^2 + 7t - 2 < 0
(4t1)(t+2)<0(4t-1)(t+2) < 0
2<t<14-2 < t < \frac{1}{4}
t>0t > 0 より、 0<t<140 < t < \frac{1}{4}
0<2x<140 < 2^x < \frac{1}{4}
2x<222^x < 2^{-2}
x<2x < -2
(4) の不等式を解きます。
4(2x)292x+20\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0
2x=t2^x = t とおくと、t>0t > 0 である。
4t29t+20\frac{4}{t^2} - \frac{9}{t} + 2 \le 0
両辺に t2t^2 をかけると、
49t+2t204 - 9t + 2t^2 \le 0
2t29t+402t^2 - 9t + 4 \le 0
(2t1)(t4)0(2t - 1)(t - 4) \le 0
12t4\frac{1}{2} \le t \le 4
122x4\frac{1}{2} \le 2^x \le 4
212x222^{-1} \le 2^x \le 2^2
1x2-1 \le x \le 2

3. 最終的な答え

(2) x<2x < -2
(4) 1x2-1 \le x \le 2

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