与えられた指数不等式を解きます。具体的には以下の2つの不等式です。 (2) $4 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0$ (4) $\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0$

1. 問題の内容

与えられた指数不等式を解きます。具体的には以下の2つの不等式です。

(2) $4 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0$

(4) $\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0$

2. 解き方の手順

(2) の不等式を解きます。

$4 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^x - 2 < 0$

$4 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 2 < 0$

$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ である。

$4t^2 + 7t - 2 < 0$

$(4t-1)(t+2) < 0$

$-2 < t < \frac{1}{4}$

$t > 0$ より、 $0 < t < \frac{1}{4}$

$0 < 2^x < \frac{1}{4}$

$2^x < 2^{-2}$

$x < -2$

(4) の不等式を解きます。

$\frac{4}{(2^x)^2} - \frac{9}{2^x} + 2 \le 0$

$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ である。

$\frac{4}{t^2} - \frac{9}{t} + 2 \le 0$

両辺に $t^2$ をかけると、

$4 - 9t + 2t^2 \le 0$

$2t^2 - 9t + 4 \le 0$

$(2t - 1)(t - 4) \le 0$

$\frac{1}{2} \le t \le 4$

$\frac{1}{2} \le 2^x \le 4$

$2^{-1} \le 2^x \le 2^2$

$-1 \le x \le 2$

3. 最終的な答え

(2) $x < -2$

(4) $-1 \le x \le 2$