$f(x)$ は $x$ の多項式で表される関数で、$f(x) + 2f'(x) = 6x$ かつ $f(0) = 1$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の次数を求めよ。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ は $x$ の多項式で表される関数で、$f(x) + 2f'(x) = 6x$ かつ $f(0) = 1$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の次数を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ の次数を $n$ とすると、$f(x)$ の最高次の項は $ax^n$ (ただし $a \neq 0$) と表せる。

$f'(x)$ の次数は $n-1$ である。

$f(x) + 2f'(x) = 6x$ であるから、左辺の次数は $f(x)$ の次数と $f'(x)$ の次数のうち高い方になる。

もし $n > 1$ ならば、$f(x) + 2f'(x)$ の次数は $n$ になるはずだが、$f(x) + 2f'(x) = 6x$ の次数は 1 であるから矛盾する。

したがって、$n \leq 1$ である。

$n=0$ とすると、$f(x)$ は定数関数となり、$f(x)=c$（ただし $c$ は定数）と表せる。

このとき、$f'(x) = 0$ であるから、$f(x) + 2f'(x) = c = 6x$ となる。

これは $x$ の関数であるから、定数関数であることに矛盾する。

よって、$n = 1$ である。

(2)

$f(x)$ の次数は 1 であるから、$f(x) = ax + b$ (ただし $a, b$ は定数) とおく。

$f'(x) = a$ であるから、

$f(x) + 2f'(x) = ax + b + 2a = 6x$

$ax + (b+2a) = 6x$

係数を比較すると、

$a = 6$

$b + 2a = 0$ より、$b + 12 = 0$ なので、$b = -12$

したがって、$f(x) = 6x - 12$

$f(0) = 1$ を満たすか確認する。

$f(0) = 6(0) - 12 = -12$

$f(0) = 1$ であるから、これは誤りである。

$f(x) = ax + b$ とおいたとき、$f'(x) = a$

$f(x) + 2f'(x) = ax + b + 2a = 6x$

よって、$a = 6$ かつ $b + 2a = 0$ でなければならない。

$f(0) = b = 1$

$b + 2a = 1 + 2(6) = 13 \neq 0$

$f(x)$ が多項式関数であること、$f(x) + 2f'(x) = 6x$ であること、$f(0)=1$ であることの3つを全て満たすことは不可能である。

問題文中の $f(x) + 2f'(x) = 6x$ が $f(x) + 2xf'(x) = 6x$ である場合を考える。

$f(x) = ax + b$ とおく。

$f'(x) = a$

$f(x) + 2xf'(x) = ax + b + 2xa = (3a)x + b = 6x$

$3a = 6$ より $a = 2$

$b = 0$

$f(x) = 2x$ となり、$f(0) = 0$ となるので、$f(0) = 1$ を満たさない。

問題文中の $f(x) + 2f'(x) = 6x$ が $f(x) + 2f'(x) = 6$ である場合を考える。

$f(x) = ax + b$ とおく。

$f'(x) = a$

$f(x) + 2f'(x) = ax + b + 2a = 6$

$a = 0$ より、$f(x)$ は定数関数である。

$f(x) = b$

$f(0) = b = 1$

$b + 2a = 1 = 6$ となり矛盾する。

もう一度問題をよく見ると、$f(x) + 2f'(x) = 6x$ である。

$f(x) = ax+b$ とおく。

$f'(x) = a$

$f(x) + 2f'(x) = ax + b + 2a = 6x$

$a = 6, b + 2a = 0$

$b + 12 = 0, b = -12$

$f(x) = 6x - 12$

$f(0) = -12 \neq 1$

$f(x) = ax^2 + bx + c$ と仮定する。

$f'(x) = 2ax + b$

$f(x) + 2f'(x) = ax^2 + bx + c + 2(2ax + b) = ax^2 + (b+4a)x + c + 2b = 6x$

$a = 0, b+4a = 6, c+2b = 0$

$a = 0, b = 6, c = -12$

$f(x) = 6x - 12$

$f(0) = -12 \neq 1$

$f(x)$ の次数を決定する際に、最高次の項の係数が0になる可能性を考慮する必要がある。

$f(x) = ax+b$ とおいた場合、$f'(x)=a$

$f(x)+2f'(x) = ax+b+2a = 6x$

より、$a=6$ かつ $b+2a = 0$ である必要がある。

$f(0)=b=1$ であり、$b+2a=0$ より $1+2(6) = 13 = 0$ となり矛盾する。

したがって、条件を満たす多項式関数は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 条件を満たす $f(x)$ は存在しないので、次数も存在しない。

(2) 条件を満たす $f(x)$ は存在しない。