与えられた絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ (これを式①とする)について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x$ の範囲によって式①を整理し、解を求める。 (2) 式①の解 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) を求め、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた絶対値を含む2次方程式 $x^2 + 3|x-1| + 5|x-3| - 15 = 0$ (これを式①とする)について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x$ の範囲によって式①を整理し、解を求める。

(2) 式①の解 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) を求め、$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ を満たす自然数 $m$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $x<1$ のとき:

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、式①は

$x^2 + 3(1-x) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3 - 3x + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 8x + 3 = 0$

よって、ア = 8、イ = 3

* $1 \le x < 3$ のとき:

$|x-1| = x-1$, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、式①は

$x^2 + 3(x-1) + 5(3-x) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 15 - 5x - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

よって、ウ = 2、エ = 3

* $3 \le x$ のとき:

$|x-1| = x-1$, $|x-3| = x-3$ なので、式①は

$x^2 + 3(x-1) + 5(x-3) - 15 = 0$

$x^2 + 3x - 3 + 5x - 15 - 15 = 0$

$x^2 + 8x - 33 = 0$

よって、オ = 8、カキ = 33

それぞれの範囲で解を求める。

* $x < 1$ のとき:

$x^2 - 8x + 3 = 0$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 4 \pm \sqrt{13}$

$x < 1$ を満たすのは $x = 4 - \sqrt{13}$ のみ。

* $1 \le x < 3$ のとき:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

$1 \le x < 3$ を満たすのは解なし

* $3 \le x$ のとき:

$x^2 + 8x - 33 = 0$

$(x+11)(x-3) = 0$

$x = -11, 3$

$3 \le x$ を満たすのは $x=3$ のみ。

したがって、方程式①の解は $x = 4 - \sqrt{13}, 3$。

(2)

$\alpha = 3, \beta = 4 - \sqrt{13}$ ($3 < 4 - \sqrt{13}$ は成り立たないため$\alpha = 4-\sqrt{13}, \beta = 3$)

$|\frac{\alpha}{\beta}| = |\frac{4-\sqrt{13}}{3}| = \frac{4-\sqrt{13}}{3} \approx \frac{4-3.605}{3} = \frac{0.395}{3} \approx 0.132$

$m \le |\frac{\alpha}{\beta}| < m+1$ より

$m \le 0.132 < m+1$

$m=0$

3. 最終的な答え

ア = 8, イ = 3

ウ = 2, エ = 3

オ = 8, カキ = 33

ク = 4, ケコ = 13, サ = 3

シ = 0