問題は、有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ について以下の3つの性質を示すことです。 (1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。 (2) 直積集合 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。 (3) 直和集合 $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

1. 問題の内容

問題は、有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ について以下の3つの性質を示すことです。

(1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。

(2) 直積集合 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

(3) 直和集合 $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbb{Q}$ が可算集合であることの証明:

$\mathbb{Q}$ は、整数 $m$ と正の整数 $n$ の比 $m/n$ で表される数の集合です。まず、正の有理数全体の集合 $\mathbb{Q}^+$ が可算であることを示します。

$\mathbb{Q}^+$ の各要素を $m/n$ の形で表し、$m$ と $n$ が互いに素であると仮定します。

次に、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の要素 $(m, n)$ に対して、$m/n$ を対応させる関数 $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q}^+$ を考えます。ただし、$m$ と $n$ は互いに素であるもののみを考えます。

$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は可算集合であるため、その部分集合である上記の $(m, n)$ の集合も可算です。したがって、$\mathbb{Q}^+$ は可算集合です。

$\mathbb{Q}^-$ (負の有理数) も同様に可算集合です。

$\mathbb{Q} = \mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^- \cup \{0\}$ と表せます。可算集合の可算個の合併は可算集合であるため、$\mathbb{Q}$ は可算集合です。

(2) $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ が $\mathbb{Q}$ と対等であることの証明:

$\mathbb{Q}$ が可算無限集合であることより、全単射 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ が存在します。

$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ も可算無限集合なので、全単射 $g: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ が存在します。

したがって、$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ と $\mathbb{Q}$ は濃度が等しく、対等です。

別の方法として、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ と $\mathbb{N}$ が対等であることと、$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{N}$ が対等であることを用いることもできます。$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ と $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は対等であり、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ と $\mathbb{N}$ は対等なので、$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ と $\mathbb{N}$ は対等です。そして、$\mathbb{N}$ と $\mathbb{Q}$ は対等なので、$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ と $\mathbb{Q}$ は対等です。

(3) $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ が $\mathbb{Q}$ と対等であることの証明:

$\mathbb{Q} + \mathbb{Q} = \{x + y \mid x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{Q}\}$ は、有理数の和の集合です。

任意の $x, y \in \mathbb{Q}$ に対して、$x + y$ は常に有理数であるため、$\mathbb{Q} + \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}$ が成り立ちます。

また、任意の $z \in \mathbb{Q}$ に対して、$z = (z/2) + (z/2)$ と表せるため、$z \in \mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ が成り立ちます。したがって、$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ が成り立ちます。

以上より、$\mathbb{Q} + \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$ となります。したがって、$\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等です。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。

(2) $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

(3) $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。