問題2は、ベルンシュタインの定理について、(1) 定理の内容を述べ、(2) その定理を証明することを求めています。

1. 問題の内容

問題2は、ベルンシュタインの定理について、(1) 定理の内容を述べ、(2) その定理を証明することを求めています。

2. 解き方の手順

(1) ベルンシュタインの定理を述べます。

ベルンシュタインの定理（または、シュレーダー・ベルンシュタインの定理）とは、集合 $A$ から集合 $B$ への単射が存在し、かつ集合 $B$ から集合 $A$ への単射が存在するならば、$A$ と $B$ の間に全単射が存在するという定理です。つまり、$A$ と $B$ は対等であると言えます。

(2) ベルンシュタインの定理を証明します。

$f: A \to B$ を単射、$g: B \to A$ を単射とします。このとき、$A$ と $B$ が対等であることを示す必要があります。

$A_0 = A$ とします。

$A_{n+1} = g(f(A_n))$ とします。

すると、$A \supset A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ が成り立ちます。

$A' = \bigcap_{n=0}^{\infty} A_n$ とします。

$C = A \setminus A'$ とします。

$C_n = A_n \setminus A_{n+1}$ とします。

すると、$C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_n$ となります。

写像 $h: A \to B$ を以下のように定義します。

$x \in A'$ ならば $h(x) = f(x)$ とします。

$x \in C$ ならば、$x \in C_n$ となる $n$ が存在するので、$x \in A_n$ かつ $x \notin A_{n+1}$ です。

このとき、$g^{-1}(x) \in B$ が存在します。なぜなら、$x \in A_n$ なので、$f(A_{n-1})$ の元で、$f(A_{n-1}) \subset B$ となり、 $g$ が定義できるからです。

$h(x) = f(x)$ ($x \in A'$)

$h(x) = g^{-1}(x)$ ($x \in C$)

このように定義すると、$h$ は $A$ から $B$ への全単射となります。

なぜなら、$h$ が全射であり、単射であるからです。

3. 最終的な答え

(1) ベルンシュタインの定理：集合 $A$ から集合 $B$ への単射が存在し、かつ集合 $B$ から集合 $A$ への単射が存在するならば、$A$ と $B$ の間に全単射が存在する。

(2) 証明は上記参照。