$p$ は素数、$m, n$ は整数で $m \neq 0$ とする。$n, p-m, m+n$ がこの順で等差数列になり、$p-m, n, p+m$ がこの順で等比数列になるとき、$p, m, n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$p$ は素数、$m, n$ は整数で $m \neq 0$ とする。$n, p-m, m+n$ がこの順で等差数列になり、$p-m, n, p+m$ がこの順で等比数列になるとき、$p, m, n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n, p-m, m+n$ が等差数列であることから、

$$2(p-m) = n + (m+n)$$

$$2p - 2m = 2n + m$$

$$2p = 2n + 3m \qquad (1)$$

次に、$p-m, n, p+m$ が等比数列であることから、

$$n^2 = (p-m)(p+m)$$

$$n^2 = p^2 - m^2 \qquad (2)$$

(1)式より、$n = p - \frac{3}{2}m$。これを(2)式に代入すると、

$$(p - \frac{3}{2}m)^2 = p^2 - m^2$$

$$p^2 - 3pm + \frac{9}{4}m^2 = p^2 - m^2$$

$$-3pm + \frac{13}{4}m^2 = 0$$

$$m(-3p + \frac{13}{4}m) = 0$$

$m \neq 0$ より、

$$-3p + \frac{13}{4}m = 0$$

$$3p = \frac{13}{4}m$$

$$12p = 13m$$

$$m = \frac{12}{13}p$$

$m$ は整数なので、$p$ は13の倍数である必要がある。$p$は素数なので、$p = 13$。

$$m = \frac{12}{13} \times 13 = 12$$

(1)式に代入して、

$$2 \times 13 = 2n + 3 \times 12$$

$$26 = 2n + 36$$

$$2n = -10$$

$$n = -5$$

3. 最終的な答え

$p = 13$, $m = 12$, $n = -5$