$a^4 = b^2 + 2^c$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ で、$a$ が奇数であるものを求めよ。

1. 問題の内容

$a^4 = b^2 + 2^c$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ で、$a$ が奇数であるものを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$が奇数なので、$a^4$も奇数である。したがって、$b^2$は奇数で、$b$も奇数である。

$a^4 = b^2 + 2^c$ より、

$2^c = a^4 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$ となる。

$a^2 - b$ と $a^2 + b$ はともに $2$ のべき乗であるから、ある非負整数 $x, y$ を用いて

$a^2 - b = 2^x$

$a^2 + b = 2^y$

ただし、$x < y$ かつ $x + y = c$ である。

これらを足し合わせると、

$2a^2 = 2^x + 2^y = 2^x(1 + 2^{y-x})$ となる。

したがって、$a^2 = 2^{x-1}(1 + 2^{y-x})$ である。

$a$ は奇数なので、$a^2$ も奇数である。よって、$x - 1 = 0$、つまり $x = 1$ である。

すると、$a^2 = 1 + 2^{y-x}$ となる。$x = 1$ なので、$a^2 = 1 + 2^{y-1}$ である。

ここで、$y-1 = 0$ とすると、$a^2 = 1 + 1 = 2$ となり、$a$ が整数にならないので矛盾する。

$y-1 = 1$ とすると、$a^2 = 1 + 2 = 3$ となり、$a$ が整数にならないので矛盾する。

$y-1 = 2$ とすると、$a^2 = 1 + 4 = 5$ となり、$a$ が整数にならないので矛盾する。

$y-1 = 3$ とすると、$a^2 = 1 + 8 = 9$ となり、$a = 3$ である。

このとき、$a = 3$, $x = 1$, $y = 4$ なので、$c = x + y = 1 + 4 = 5$ である。

$a^2 - b = 2^x = 2^1 = 2$ なので、$9 - b = 2$, $b = 7$ である。

したがって、$(a, b, c) = (3, 7, 5)$ は解である。$3^4 = 81$, $7^2 + 2^5 = 49 + 32 = 81$。

$a^2 = 1 + 2^{y-1}$ を変形して、$2^{y-1} = a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$ である。

$a-1$ と $a+1$ は $2$ のべき乗であるから、ある非負整数 $p, q$ を用いて

$a-1 = 2^p$

$a+1 = 2^q$

ただし、$p < q$ かつ $p + q = y - 1$ である。

これらを引くと、$2 = 2^q - 2^p = 2^p(2^{q-p} - 1)$ となる。

よって、$p = 1$ かつ $2^{q-p} - 1 = 1$ である。

すると、$2^{q-p} = 2$, $q - p = 1$, $q = p + 1 = 2$ である。

$a - 1 = 2^p = 2^1 = 2$, $a = 3$

$a + 1 = 2^q = 2^2 = 4$, $a = 3$

$y - 1 = p + q = 1 + 2 = 3$, $y = 4$

$a^2 - b = 2^x = 2^1 = 2$, $9 - b = 2$, $b = 7$

$a^2 + b = 2^y = 2^4 = 16$, $9 + b = 16$, $b = 7$

$c = x + y = 1 + 4 = 5$

したがって、$(a, b, c) = (3, 7, 5)$ である。

3. 最終的な答え

(3, 7, 5)