写像 $f:X \to Y$ と、$A, B \subseteq X$ および $C, D \subseteq Y$ に対して、以下の包含関係の逆の包含関係が一般的に正しいかどうかを議論する問題です。 (1) $f^{-1}(f(A)) \supseteq A$ (2) $f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$

1. 問題の内容

写像 $f:X \to Y$ と、$A, B \subseteq X$ および $C, D \subseteq Y$ に対して、以下の包含関係の逆の包含関係が一般的に正しいかどうかを議論する問題です。

(1) $f^{-1}(f(A)) \supseteq A$

(2) $f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$

2. 解き方の手順

(1) $f^{-1}(f(A)) \supseteq A$ の証明:

$x \in A$ を任意にとります。

すると、$f(x) \in f(A)$ が成り立ちます。

したがって、$x \in f^{-1}(f(A))$ が成り立ちます。

これは、$A \subseteq f^{-1}(f(A))$ を意味します。

よって、逆の包含関係 $f^{-1}(f(A)) \supseteq A$ は一般的に正しいです。

(2) $f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$ の証明:

$y \in f(X) \setminus f(A)$ を任意にとります。

これは、$y \in f(X)$ かつ $y \notin f(A)$ を意味します。

$y \in f(X)$ なので、ある $x \in X$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$y \notin f(A)$ なので、$x \notin A$ である必要があります。

したがって、$x \in X \setminus A$ が成り立ちます。

よって、$y = f(x) \in f(X \setminus A)$ となります。

これは、$f(X) \setminus f(A) \subseteq f(X \setminus A)$ を意味します。

したがって、逆の包含関係 $f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$ は一般的に正しいです。

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(f(A)) \supseteq A$ は一般的に正しい。

(2) $f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$ は一般的に正しい。